Fysikk: Momentanfart og gjennomsnittsfart

[jaktogfiske]

Man får oppgitt grafer i mange oppgaver i fysikk. I alle de vanskeligste oppgavene er det ett spørsmål som går igjen. Hvordan regner man ut -hvilket tidspunkt momentanfarten er like stor som gjennomsnittsfarten-?

 

Er det en spesiell formel for dette? Finner det ikke i boka...

[Jaffe]

Hvis du bare har en strekningsgraf (uten funksjonsuttrykk), kan du nok bare gjøre dette grafisk:

 

 

Den røde streken representerer gjennomsnittsfarten mellom origo og et punkt. Vi er interessert i når farten faktisk er så stor. Det gjør vi grafisk ved å finne et punkt hvor tangenten -- den momentane stigningen -- er parallell med gjennomsnittsfartslinja. I eksempelet kan det se ut som dette er tilfelle når t = 1.

 

Hvis du har et funksjonsuttrykk for posisjonen, kan det gjøres ved rekning. Da er den momentane farten gitt ved den deriverte av funksjonen: v(t) = s'(t). Setter du denne lik den gjennomsnittelige akselerasjonen, finner du tida der de to er like store.

 

I eksempelbildet brukte jeg den enkle funksjonen s(t) = 1/2 t^2. Gjennomsnittsfarten mellom t = 0 og t = 2 er v_ = s/t = (1/2 * 2^2) / 2 = 1.

 

Uttrykket for momentanfarten blir v(t) = s'(t) = 1/2 * 2 * t = t. Setter vi lik gjennomsnittsfarten får vi t = 1.