Matte i media og forskning.

[K..]

Når det gjelder sjekk av konservative vektorfelt i ℝ³, så er feltet F = <M , N , P> konservativt hvis følgende holder:

 

∂M/∂y = ∂N/∂x

∂N/∂z = ∂P/∂y

∂P/∂x = ∂M/∂z

 

Dvs. at den partiellderiverte av x-komponenten mhp. y skal være lik den partiellderiverte av y-komponenten mhp. x, og så videre. Sjekker altså to og to mot hverandre, hvis du skjønner ... Det er et system der!

Det er nesten rett - området vektorfeltet representerer må i tillegg være enkeltsammenhengende. Dvs, ha kontinuerlige derriverte i alle punkter (ikke ha utrykk som får 0 i nevner osv).

 

Eksempel:

F = [x/(x^2 + y^2), y/(x^2 + y^2)]

 

Dette vektorfeltet oppfyller at My = Nx, men alikevel er det ikke konservativt. Hvorfor? Området er ikke enkeltsammenhengende. Punktet (0,0) passer ikke.

 

Definisjonen på et enkeltsammenhengende område er vel at du kan lage en kurve i området og være i stand til å krympe den til et punkt. Dersom området inneholder et hull, som f eks vektorfeltet overfor hvor origo ikke eksisterer, blir dette problematisk. Alle kurver som går rundt origo kan bare krympes til nettopp origo som ikke er med i området - mm.. så.. det er ikke enkeltsammenhengende.

 

Sigh, føler at dette ble veeldig rotete. Ummh. Spør om noe ble uklart.

[GeO]

Her ser vi altså nok en demonstrasjon av kontinuitetsbetingelsenes enestående evne til å ødelegge moroa.

 

Neida, takk for korreksjonen! Viktig poeng.

 

Edit: Fikset litt på den første posten min, så nå skal alt stemme, tror jeg. Mer eller mindre.

Endret 26. april 2008 av TwinMOS

[Janhaa]

Hvordan integrerer man sin³(t)cos⁴(t) ?

skriv sin³(t)cos⁴(t) = cos⁴(t) (1 - cos²(t)) sin(t)

 

og sett u = cos(t) der du = -sin(t) dt

 

slik at

 

I = Int u⁴ (u² - 1) du = Int (u⁶ - u⁴) du

 

I = (1/7)u⁷ - (1/5)u⁵ + C = (1/7)cos⁷(t) - (1/5)cos⁵(t) + C

[KjellV]

F₁(x,y) = yi + xj

 

Finn potensialfunksjonen.

 

Litt fuckup med copy paste men dere forstår sikkert:

F1(x, y) = r(x, y) der (x, y) =

 

(r = delta, = phi(?) )

Endret 27. april 2008 av KjellV

[spareku]

Hvordan integrerer man sin²(t)cos⁴(t) ?

[endrebjo]

Bruker omtrent samme fremgangsmåte som ovenfor.

sin²t + cos²t = 1 => sin²t = 1 - cos²t

 

int sin²t*cos²t dt = int (1-cos²t)cos⁴t dt = int cos⁴t - cos⁶t dt = int cos⁴t dt - int cos⁶t dt

[spareku]

...

Endret 27. april 2008 av spareku

[KjellV]

Et spørsmål til:

 

La U være legemet som er gitt ved x, y, z >= 0 og x + y + z =< 1, og la g(x, y, z) = x²y være

en funksjon på U.

 

Sett opp et iterert trippelintegral for integralet av g over legemet U

[GeO]

Et spørsmål til:

 

La U være legemet som er gitt ved x, y, z >= 0 og x + y + z =< 1, og la g(x, y, z) = x²y være

en funksjon på U.

 

Sett opp et iterert trippelintegral for integralet av g over legemet U

Maple-øving? Replikkutveksling fra da jeg og noen andre holdt på med dette på fredag:

 

- Hvordan fant du integrasjonsgrensene?

- Øyemål!

 

Du har sikkert skissert legemet og sett at det er avgrenset av (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1). z-grensene er dermed ganske greie, du integrerer mellom xy-planet og planet z = 1-x-y:

 

0 < z < 1-x-y

 

y-grensene finner vi ved å se på projeksjonen av legemet ned i xy-planet:

 

0 < y < 1-x

 

Til slutt er det bare å integrere x, som blir

 

0 < x < 1

 

Jeg får 1/360 til svar når jeg beregner dette.

[spareku]

Og hvordan integrerer man da cos⁴(t) og cos⁶(t) ? Kan ikke se at det står i Rottmann.

[KjellV]

Da er man endelig i mål med maple-øving ja. Takker for innspill TwinMOS.

[spareku]

Use Green's Theorem to calculate the work done by the force field

 

F = <5x²y³, 7x³y²>

 

in moving a particle counterclockwise once around the triangle with vertices (0, 0), (3, 0) and 0, 6).

 

 

Jeg må integrere 6x²y² over triangelet, ikke sant? Jeg får svaret 1944, men fasiten sier 972/5. Hva er galt?

[GeO]

Det er helt riktig at du skal integrere 6x²y² over det triangelet. Jeg får 972/5 når jeg gjennomfører integrasjonen, så du har sikkert bare gjort en småfeil underveis i utregningen.

[spareku]

Tegnet opp rektangelet feil, med øverste punkt i (3,6) i stedet for (0,6). Det forklarer nok saken. Da blir det et helvetes integral å løse, men det blir sikkert riktig svar. Men hvordan integrerer man sin^3(x)? Står ikke i Rottmann.

[GeO]

Men hvordan integrerer man sin^3(x)? Står ikke i Rottmann.

Mitt forslag: omform uttrykket litt, f.eks. ved å skrive at

 

sin³(x) = sin(x)sin²(x) = sin(x)(1 - cos²(x)) = sin(x) - sin(x)cos²(x)

 

Så kan du bruke formelen for integralet av sin(x)cosⁿ(x). Det finnes sikkert mange andre måter å gjøre dette på òg. Generelt: vær kreativ

[K..]

sin³(x) = sin(x)sin²(x) = sin(x)(1 - cos²(x)) = sin(x) - sin(x)cos²(x)

Veldig bra tips!

 

Om du vil løse integralet sin(x)cos²(x) kan du bruke variabelskifte, u = cos(x). Etter litt triksing ser du at sinusen forsvinner og du står igjen med integralet av -u² du.

[GeO]

Ja, man bruker jo Rottmann så ofte at man bortimot glemmer hvor artig det egentlig er å pønske ut disse integralene "manuelt".

[spareku]

Calculate the outward flux of the vector field F = <0, 0, z^2> out of the boundary of te solid bounded by the paraboloids z= z^2 and z = 18 - z^2 - y^2

 

Jeg skriver om til polarkoordinater, og får z = 18 - r^2 og z = r^2. Disse skjærer hverandre i sirkelen r=3.

 

Jeg bruker divergensteoremet og integrerer 2z dz dr d(tetha) med grenser hhv. [r^2, 18-r^2], [0, 3] og [0, 2*pi]. Svaret jeg får er 1296*pi. Korrekt svar er 1458*pi. Hva gjør jeg galt?

Endret 28. april 2008 av spareku

[spareku]

Hvordan integrerer jeg cos^4(x)?

Endret 30. april 2008 av spareku

[GeO]

Hint: cos⁴(x) = (cos²(x))² = [1/2·(1 + cos(2x))]² = 1/4·(1 + 2 cos(2x) + cos²(2x))

 

Nå er trikset å bruke den samme identiteten også på det siste leddet i parentesen. Da får du et eller annet med cos(4x), og det er det ingen sak å integrere.