Mattenøtter for store og små

[Jonas]

[ x + y = a ]

[ x² + y² = 9 ]

 

Hvilken verdier av A gjør at likningssettet får to løsninger?

[trøls]

Mener du hvilke verdier? Forøvrig en artig oppgave, og jeg tror jeg har fått den til. Kan dog la andre prøve først...

[DrKarlsen]

Fælt til geometri....

x^2 + y^2 = 3^2 er en sirkel med radius 3 med sentrum i origo.

Linjen y = a - x tangerer sirkelen i punktet (3/sqrt(2), 3/sqrt(2)) og i punktet (-3/sqrt(2), -3/sqrt(2)).

Vi kjenner stigningstallet til linja, altså -1, så vi kan bruke ettpunktsformelen:

y - 3/sqrt(2) = -(x-3/sqrt(2)) = 3/sqrt(2) - x, altså y = 2*3/sqrt(2) - x = 6/sqrt(2) - x = 3*sqrt(2) - x. Tilsvarende på den andre siden.

Altså har vi to løsninger dersom a er element i (-3*sqrt(2), 3*sqrt(2)).

[trøls]

Jeg mente ikke deg! Er forøvrig svært enig.

[Jonas]

Ja, jeg mente hvilke verdier. DrKarlsen, det er korrekt!

Endret 11. mars 2007 av Jonas

[DrKarlsen]

Hvordan løste du den? Jeg synes løsningen min var relativt uortodoks. Kan muligens løses enklere direkte...

[DrKarlsen]

Da går vi bort fra geometri (phew!) og opp et lite nivå.

 

Finn alle heltall n slik at n^2 - 5n + 6 blir primtall. Vis at de du har funnet er de eneste.

[Jonas]

Hvordan løste du den? Jeg synes løsningen min var relativt uortodoks. Kan muligens løses enklere direkte...

8133009[/snapback]

Meg? Jeg løste den slik.

 

Edit: sqrt( 3² + 3² ) = ± 4.2

Edit: Ops, mente 3, ja.

Endret 11. mars 2007 av Jonas

[DrKarlsen]

Ok. Kanskje litt enklere. Antar at du mener 3 og ikke 6 der.

[trøls]

Hvordan løste du den? Jeg synes løsningen min var relativt uortodoks. Kan muligens løses enklere direkte...

8133009[/snapback]

På samme måte. Prøvde også å skrive om den nederste ligningen til (x+y)^2 = 9+2xy => a^2 = 9+2xy , men må fortsatt tegne opp sirkelen og tangenten for å få løst det - altså vise at x=y=3/2*sqrt(2)? (Er forøvrig ikke så sterk i geometri selv. Hadde en del av det i et glimrende valgfag på videregående, men mye er glemt.)

 

Redigert: Både Jonas' og DrKarlsens løsninger er da i prinsippet like?

Endret 11. mars 2007 av trøls

[DrKarlsen]

a^2 = 3^2 + 3^2 - 2*3*3*cos(pi/2) => a = +\- sqrt(18) = +\- 3*sqrt(2).

 

Litt enklere imho.

 

Ok, hvorfor i all verden brukte jeg cosinussetningen der?

Endret 11. mars 2007 av DrKarlsen

[DrKarlsen]

Ingen løsning enda?

 

n^2 - 5n + 6 = (n-3)(n-2), altså et produkt. Hvis vi skal ha primtall må én av disse være lik 1. Altså er våre kandidater n=4 og n=3, men n=3 funker ikke, så vår eneste verdi som gir primtall er n=4.

 

 

Ny nøtt:

 

Summen av to tall a,b gir et oddetall.

Produktet av a,b gir et primtall.

 

Finn a og b.

[JBlack]

Ingen løsning enda?

 

n^2 - 5n + 6 = (n-3)(n-2), altså et produkt. Hvis vi skal ha primtall må én av disse være lik 1. Altså er våre kandidater n=4 og n=3, men n=3 funker ikke, så vår eneste verdi som gir primtall er n=4.

 

 

Ny nøtt:

 

Summen av to tall a,b gir et oddetall.

Produktet av a,b gir et primtall.

 

Finn a og b.

8134584[/snapback]

1 og 2

 

Edit:

Et primtall er definert av at det kun kan deles med 1 og seg selv. Deler man med noe annet enn 1, så er det ikke primtall vi har å gjøre med. Så ene tallet må være 1.

 

Skal summen bli et oddetall så må man legge til et partall. Og siden dette tallet ganget med 1 blir seg selv og samtidig skal være primtall, så trenger vi et partall som også er et primtall. Eneste alternativ er tallet 2.

Endret 12. mars 2007 av JBlack

[endrebjo]

Ingen løsning enda?

8134584[/snapback]

Klokken var 00:15 på en søndag kveld. Med denne tråden greide du å holde meg opp én time for lenge, i tillegg til at jeg ble liggende og tenke på morsomme mattoppgaver halve natten.

[trøls]

Ingen løsning enda?

8134584[/snapback]

 

Tok den i en forelesning på skolen idag, på klumsete ingeniørvis:

 

Skriver om til: n(n-5)+6 = primtall. Ser at n(n-5) er partall for alle n, og partall+6 er også alltid et partall. Det eneste partallet som også er primtall, er som kjent 2. Dette gir n(n-5) = -4 => n=4.

 

JBlack: Sleng opp en ny oppgave, da vel?

[endrebjo]

[ x + y = a ]

[ x² + y² = 9 ]

 

Hvilken verdier av A gjør at likningssettet får to løsninger?

8132896[/snapback]

De finnes jo mange verdier av a som gjør at det blir to løsninger.

Eller er du ute etter verdier som gjør at det bare blir én løsning?

De verdiene som har kommet opp som riktige løsninger, gjør jo at det bare blir én løsning.

Eller har jeg misforstått?

[trøls]

De verdiene som har kommet opp som riktige løsninger, gjør jo at det bare blir én løsning.

8136188[/snapback]

Altså har vi to løsninger dersom a er element i (-3*sqrt(2), 3*sqrt(2)).

[endrebjo]

De verdiene som har kommet opp som riktige løsninger, gjør jo at det bare blir én løsning.

8136188[/snapback]

Altså har vi to løsninger dersom a er element i (-3*sqrt(2), 3*sqrt(2)).

8136242[/snapback]

Ahh... a er fra -3sqrt(2) til 3sqrt(2).

Jeg skjønte ikke at det var et intervall han mente.

Det finnes vel forskjellige måter å skrive et intervall på, og jeg kjente ikke igjen skrivemåten. Jeg fikk heller ikke med meg at Jonas var ute etter et intervall.

[JBlack]

JBlack: Sleng opp en ny oppgave, da vel?

8136102[/snapback]

Har ikke noe på sparket. (Og ventet egentlig på godkjenning av svar... kan jo ha missforstått oppgaven..)

[DrKarlsen]

Løsningen din var super. Kjør på når du har en ny nøtt.

Endret 12. mars 2007 av DrKarlsen