Mattenøtter for store og små

[eivind lunder]

Smått med nøtter nå. Kan jeg komme med en?

[DrKarlsen]

Ja, go for it!

[eivind lunder]

Ok!

 

Bevis at det eksisterer to potenser av 3, 3^k og 3^u, hvor k>u, slik at 1997 deler (3^k)-(3^u).

[DrKarlsen]

Stilig oppgave. Hvor fant du den?

 

Løsningsforslag:

1997 er primtall, så vi kan bruke Fermats lille teorem:

a^(p-1) == 1 (mod p).

3 og 1997 er relativt primiske så vi har ingen problemer.

Siden fermats lille gjelder, vet vi at 3^1996 == 1 (mod 1997). Dette gir videre at (3^1996)^2 = 3^(2*1996) == 1^2 == 1 (mod 1997).

Altså, hvis k = n*1996+r og u = v*1996+r for positive heltall n,v,r og n>v, vil 3^k - 3^u alltid være delelig på 1997.

Endret 12. mars 2007 av DrKarlsen

[eivind lunder]

Flott løsning, DrKarlsen!

 

Nøtta ble funnet på denne siden, masse artig der.

[DrKarlsen]

Hmmm liker ikke helt å bruke pigeonhole på slike, men men.

 

 

Nøtt:

Vis at 3 alltid deler n*(n^2 + 2)

[eivind lunder]

Løsningsforslag: n(n^2+2) = n^3+2n. Gjør om uttrykket litt; n^3+2n-3n+3n = n^3-n+3n. n^3-n kan faktoriseres til (n-1)*n*(n+1), som alltid vil være delelig med 3, og uttrykket kan skrives som (n-1)*n*(n+1)+3n = 3k+3n = 3(k+n), følgelig deler 3 uttrykket.

[DrKarlsen]

Ikke dårlig. Hva slags matematisk bakgrunn har du?

[eivind lunder]

Hehe, jeg har ikke rare matematiske bakgrunnen. Går førsteklasse på videregående nå, studerer matte ved siden av.

 

Du studerer ved NTNU og er en fabelaktig matematiker, har jeg lest.

[DrKarlsen]

Hmmm det var kanskje litt vgs-stil over den løsningen, ja. Uvanlig at slike løsninger er mer elegante enn de tekniske. (Jeg hadde induksjon eller bruk av divisjonsalgoritmen i tankene.)

 

Jeg går bare andre klasse, så fabelaktig er jeg ikke helt enda.

... men kanskje om noen år.

 

 

Har du en ny nøtt på lur?

[eivind lunder]

Her er en liten nøtt man kan kose seg med i senga.

 

Vis at (1+x)^n > 1+nx for x>0 og n større eller lik 1.

 

Nå er det kvelden.

[DrKarlsen]

Den der er super famous. Skal la noen andre gruble på den. Kommer ikke på noen nøtter nå.

[eivind lunder]

Ingen løsninger, jo...kanskje litt oppvarming hjelper!

 

Vis at alle symmetriske tall med fire siffer, slik som 4114, deler 11.

[endrebjo]

Er dette en lovlig løsning?

4114 = 1000a + 10b + b + a = 1001a + 11b = 11(91a + b)

Endret 13. mars 2007 av endrebjorsvik

[DrKarlsen]

Den er nesten fin!

Bør 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b = 11*(noe)

(Husk å nevne a element i [1,9] og b element i [0,9])

 

Kjør på med ny nøtt, endregutt.

[endrebjo]

Den er nesten fin!

Bør 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b = 11*(noe)

(Husk å nevne a element i [1,9] og b element i [0,9])

 

Kjør på med ny nøtt, endregutt.

8146715[/snapback]

Ja, jeg tenkte det først, men så tenkte jeg at jeg kunne forkorte b. Det var visst ingen god idé.

Men jeg ser at det blir tull hvis b skal være element i [10,19].

 

Ny nøtt:

En likesidet trekant har areal 36. Finn sidene uten bruk av sin, cos, tan og de der.

(sikkert lett match, men det er den eneste nøtten jeg husker. fikk den på tentamen i 9. klasse)

[Jonas]

( X * sqrt(0.75X²) ) / 2 = 36

X = 9.1

[hockey500]

kanskje noe slikt:

A = (l * h) / 2
36 = (x * sqrt(x² - (x/2)²)) / 2
36 * 2 = (x * sqrt(x² - (x/2)²))
72 = sqrt(x²(x² - (x/2)²))
72² = x²(x² - (x/2)²)
72² = x^4 – x²*(x²/4)
72² = x^4 – x^4/4
4 * 72² = 4x^4 – x^4
(4 * 72²) / 3 = x^4
x = 4sqrt(4/3 * 72²)   <-- fjerderot
x = 9.118 = 9.12

 

Sidene er 9.12cm lange (gitt at arealet var oppgitt i cm²). Må da finnes en enklere måte å løse den på? synes min metode var helt håpløs

Endret 13. mars 2007 av hockey500

[endrebjo]

Fortsett Jonas.

[Jonas]

Sakset fra geometrikapitellet - En klassisk oppgave fra matematikkens historie i Kina lyder slik: En bambusstokk er 10 chih høy. Stokken brekker, og toppen av stokken berører bakken 3 chih fra foten av stammen. Hvor høyt opp på stammen skjer bruddet?