Mattenøtter for store og små

[endrebjo]

b = 16x

h = 9x

 

A = 16x*9x = 144x²

 

3*10^6 = 144x²

x² = 20833

x = 144

 

b = 16x = 19*144 = 2304

h = 9x = 9*144 = 1296

 

2304*1296 ~ 3*10^6

[DrKarlsen]

Finn radius til den minste sirkelen om origo som inneholder alle løsningene til x^7 + x^5 + 1 = 0.

 

 

(Kan være litt vanskelig. Har vi noen algtopere her?)

[eivind lunder]

Den er vanskelig.

[eivind lunder]

DrKarlsen, kom med en løsning på oppgaven din!

 

Ser ikke ut som om det er noen her som greier den...

[DrKarlsen]

Hm, det var den, ja.

 

Den er rimelig komplisert, så jeg tror jeg dropper den.

 

 

Kom med en ny du.

[eivind lunder]

Hehe, ok.

 

Finn alle heltallspar (x, y) som tilfredsstiller x^3+1 = y^2.

[deaktivert443556]

Hehe, ok.

 

Finn alle heltallspar (x, y) som tilfredsstiller x^3+1 = y^2.

8847401[/snapback]

Mulig jeg misforstår oppgaven her, men er (2,3) et svar? Altså 2^3+1 = 3² = 9

Jeg aner i så fall ikke hvordan jeg skal kunne flere svar, så jeg forsøkte å jukse ved å lage en makro i Excel som tester alle kombinasjoner. Etter å ha latt denne surre og gå litt, kom den ikke frem til flere alternativer selv etter å ha rundet X = 5000 og Y = 350000. Skal det være flere svar?

[endrebjo]

(0,1) er også et svar.

 

Edit: Og (-1, 0)

 

Disse ser jeg utifra grafen (y = sqrt(x^3 + 1)). Jeg har egentlig ikke så mye peiling på hvordan jeg skal løse den skikkelig. Kanskje vi må finne alle kvadrattall (y^2) som passer med x^3 + 1.

Endret 13. juni 2007 av endrebjorsvik

[DrKarlsen]

Hvis dere blar litt bakover så ble det løst en oppgave som ikke var -helt- forskjellig. Kanskje dere finner hint der.

 

 

Edit: Hvis dere tror at de løsningene dere har funnet til nå er de eneste kan dere prøve å bevise det.

Endret 13. juni 2007 av DrKarlsen

[hockey500]

svarene er (-1,0), (0,-1), (0,1), (2,-3), (2,3)

 

hvordan jeg kan bevise det matematisk har jeg ingen peiling på. hyggelig av DrKarlsen å gi resten av oss en mulighet til å svare hvertfall

[eivind lunder]

Hvis vi kunne bevise at y eller x må ligge i et bestemt intervall hadde det ikke vært noe problem.

 

Så er det å gjøre det, da...

[eivind lunder]

Uff, blir ikke klok på denne oppgaven...

 

Hvis jeg gjør om y^2 = x^3 + 1 til y^2-2 = (x-1)(x^2 + x + 1), kan jeg finne at (1) y^2 >= x+1 v (2) y^2 >= x^2 + x - 1. Setter jeg (1) og (2) lik y^2 og setter de inn for y^2 i originallikningen (y^2=x^3+1), får jeg tre løsninger, (0,1), (0,-1) og (-1,0).

 

Men jeg vet jo at det er flere løsninger. Hvordan skal man gå fram for å finne de resterende løsningene?

Endret 17. juni 2007 av eivind lunder

[DrKarlsen]

Vil løse: x^3 + 1 = y^2

 

Jeg bruker bare elementære metoder, så ingenting fancy her. (Dvs. at man kan forstå det uten å kunne noe avansert matematikk. (Jeg endte opp med å ta med et lemma som krever bittelitt mer matematikk enn GCD-funksjonen, men jeg håper det er forståelig.))

 

Vi begynner mykt:

Hvis x er partall, blir x^3 partall, og x^3 + 1 blir odde, altså er y^2 odde og dermed også y.

Hvis x er oddetall, blir x^3 oddetall, og x^3 + 1 blir partall, altså er y^2 partall og dermed også y.

 

Hvis y = a er en løsning er også y = -a en løsning, så vi antar at y er positiv eller lik null.

 

 

x partall, y odde: (lett)

 

x = 2k, y = 2n+1

8k^3 + 1 = 4n^2 + 4n + 1

8k^3 = 4n^2 + 4n

2k^3 = n^2 + n = n(n+1)

 

k^3 = n(n+1)/2 = 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n (summen av de n første heltallene er lik n(n+1)/2)

 

De eneste verdiene vi kan ha at dette er riktig for er:

n = 0: k = 0

n = 1: k = 1

(*)

Dette gir:

-------------

x = 2, y = 3

-------------

 

 

x odde, y partall: (en smule tungt (og kanskje ikke veldig elegant?))

 

x^3 = y^2 - 1 = (y-1)(y+1)

 

Er y-1 og y+1 relativt primiske? Vi vet at GCD må dele differansen, altså (y+1) - (y-1) = 2, så GCD er enten 1 eller 2. y er partall, så 2 er ikke en faktor i y-1 eller y+1, altså er de relativt primiske.

 

Da vet vi at begge må være tredjepotenser. (Hvis gcd(a,b) = 1, og ab = z^n, må både a og b være n'te-potenser.)

 

y + 1 = r^3

y - 1 = s^3

 

Dette betyr at

r^3 - s^3 = 2

r^3 - s^3 = (r-s)(r^2+rs+s^2) = 2 (= 2*1 = 1*2)

Vi må ha:

r-s = 2 og r^2 + rs + s^2 = 1 (1)

eller

r-s = 1 og r^2 + rs + s^2 = 2 (2)

 

(1):

r-s=2, r = s+2

 

(s+2)^2 + (s+2)s + s^2 = s^2 + 4s + 4 + s^2 + 2s + s^2 = 3s^2 + 6s + 4 = 1

3s^2 + 6s + 3 = 0

s^2 + 2s + 1 = (s+1)^2, altså s = -1 og r = 1.

Dette gir:

-------------

y=0 og x=-1.

-------------

 

(2):

r-s=1, r = s+1

 

(s+1)^2 + (s+1)s + s^2 = s^2 + 2s + 1 + s^2 + s + s^2 = 3s^2 + 3s + 1 = 1

3s^2 + 3s = 0

s^2 + s = s(s+1) = 0, som gir s = -1 og r = 0, ELLER s = 0 og r = 1

s=-1,r=0:

Se (1).

 

s=0,r=1:

-------------

y=1,x=0

-------------

 

Da har vi alle løsningene: {(-1,0), (0,1), (2,3)}.

 

 

(PS: Hele denne driten kan gjøres mye mye mye mer elegant med litt kroppteori.)

 

 

(*)

Lemma: Det er bare n=0 og n=1 som gjør at n(n+1)/2 = 0 + 1 + 2 + ... + n blir en tredjepotens.

 

Bevis:

Forrige bevis var fucka skikkelig. Kommer nytt snart.

Endret 19. juni 2007 av DrKarlsen

[eivind lunder]

Du har vel ikke alle løsninger, DrKarlsen? Hva med (0,-1) og (2,-3)?

[DrKarlsen]

Merk at jeg skriver

"Hvis y = a er en løsning er også y = -a en løsning, så vi antar at y er positiv eller lik null."

[NikkaYoichi]

Så den nylig på Numbers på TV2, men har sett den før. Kan heller la vær å spoile den slik at noen flere får tenke litt.

8348218[/snapback]

Nei bare svar jeg er litt usikker på svaret det er et diskutert tema!

8348234[/snapback]

 

Løsningen er at det vil være fordelaktig å bytte luke etter at programlederen har åpnet en dør uten premie.

 

Grunnen er dette:

I utgangspunktet har du 2/3 sjanse for å velge feil. Dersom du valgte feil i utgangspunktet vil du alltid velge rett ved å bytte luke etter at den andre luken med feil er fjernet. Altså vil du ha 2/3 sjanse for å velge rett ved å bytte underveis.

8348263[/snapback]

 

 

Er ikke spørsmålet egentlig om det lønner seg å bytte uten å få åpnet luken?

 

Altså man velger 1 av 3 luker, og bytter uten å få se hva som er i den luka du har valgt. Hvis du får se at luka du har valgt er tom så kan det vel ikke være noen tvil om at det vil lønne seg å bytte til en av de andre?

 

Forøvrig så vil jeg si at denne tråden generelt ligger for høyt for meg, blir litt for komplisert for meg ser jeg, kanskje jeg skulle tatt meg ett hjemmekurs i linær algebra eller noe slikt?

[eivind lunder]

Merk at jeg skriver

"Hvis y = a er en løsning er også y = -a en løsning, så vi antar at y er positiv eller lik null."

8887237[/snapback]

Du gjør det for vanskelig.

 

 

 

Ny nøtt!

 

Forresten, løsninga via kroppteori, vil du vise den?

Endret 18. juni 2007 av eivind lunder

[DrKarlsen]

Er litt i farten nå. Skal poste så snart jeg kan.

[kloffsk]

Denne testen funker for flere tall. Finn en delelighetstest for 11.

 

Skriv ut polynomet med tierpotenser :

 

Z = P(n) = a_n*10^n + a_{n-1}*10^{n-1} + \ldots + a_1*10 + a_0

 

Vi ser at 10 == -1 (mod 11)

 

Følgelig får vi:

 

a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + .. +/- a_{n-1} -/+ a_n (mod 11)

 

 

=> 11|Z <=> 11 deler den alternerende summen.

 

Oppfølger:

Finn delelighetstest for 7.

[eivind lunder]

Den delelighetstesten for 7 blir jo ikke noe spesielt fin, da. Hvis ikke jeg har oversett noe.... Skal den bli en fin liten ting?