Mattenøtter for store og små

[DrKarlsen]

Du har helt rett.

[trøls]

Det holder vel å si at man setter opp en 30-60-90-trekant og ser at den indre diameteren radien er halvparten av den ytre?

 

Redigert: Pedagogikk +1

Endret 21. juni 2007 av trøls

[DrKarlsen]

Det var en rimelig elegang metode, trøls.

 

 

Jeg satt og knotet med den satans geometrien som kommer til å bli min bane.

[Janhaa]

Det var en rimelig elegang metode, trøls.

Jeg satt og knotet med den satans geometrien som kommer til å bli min bane.

8915289[/snapback]

Samme greia på meg også, surra med geometri osv... :!:

[DrKarlsen]

Vel, problemet mitt er at jeg -fortsatt- surrer!

[Gjest Slettet-8fx0y6VV]

Kom over en fascinerende og kul liten oppgave her om dagen.. Bevis at sqrt(2) er et irrasjonelttall.

 

Espen

[kloffsk]

Kom over en fascinerende og kul liten oppgave her om dagen.. Bevis at sqrt(2) er et irrasjonelttall.

 

Espen

8917847[/snapback]

 

Se teorem 5.17 i http://folk.ntnu.no/botnan/filer/tma4150.pdf. Vi ser at 1 = 1 (mod 2) og at 2 = 0 (mod 2), samtidig som 2 = 2 (mod 4). Dermed er likningen x^2 - 2 uløsbar over Q.

[DrKarlsen]

Kom over en fascinerende og kul liten oppgave her om dagen.. Bevis at sqrt(2) er et irrasjonelttall.

 

Espen

8917847[/snapback]

 

Du har selvsagt standardmetoden med å sette sqrt(2) = a/b etc., for så å leke litt videre, men her er en mer fancy metode:

 

 

Vi har x = sqrt(2) => x^2 = 2 => x^2 - 2 = 0. Vi vil se om x^2 - 2 kan faktoriseres i Q[x].

 

Se på primtallet 2, det deler ikke 1 (som i 1*x^2), men det deler 2. 2^2 deler ikke 2, så ved Eisensteins kriterie er x^2 - 2 irredusibelt i Q[x], og følgelig er sqrt(2) ikke et rasjonalt tall.

[DrKarlsen]

Her kommer standardbeviset:

 

La sqrt(2) = a/b, hvor a/b er forkortet. (gcd(a,b) = 1)

2 = a^2/b^2

a^2 = 2b^2

 

Dette betyr at 2 må dele a^2, men da også 2 dele a. (Hvorfor?)

 

Hvis 2 deler a kan vi skrive a = 2k, så vi har

a^2 = (2k)^2 = 4k^2, som gir

4k^2 = 2b^2

2k^2 = b^2

 

som betyr at 2 deler b^2, og følgelig b, men da inneholder både a og b faktoren 2, som betyr at a/b ikke er ferdig forkortet, som motsier vår opprinnelige påstand.

[DrKarlsen]

Et siste bevis: (En smule mer avansert enn det jeg nettopp posta)

 

Teorem: sqrt(p) for primtall p blir aldri et rasjonalt tall.

 

Bevis:

Anta det motsatte. Da kan vi skrive sqrt(p) = a/b hvor a/b er ferdig forkortet. Altså gcd(a,b) = 1.

Da finnes det heltall x og y slik at ax + by = 1.

Vi ganger med sqrt(p) på begge sider:

a*x*sqrt(p) + b*y*sqrt(p) = sqrt(p)

(a*sqrt(p))*x + (b*sqrt(p))*y = sqrt(p)

 

sqrt(p) = a/b gir oss

sqrt(p)*b = a

p*b = sqrt(p)*a, så vi har

 

(p*b)*x + a*y = sqrt(p), noe som betyr at sqrt(p) blir et heltall. Dette er umulig ved aritmetikkens fundamentalteorem.

[kloffsk]

Så flink!

 

Her kommer standardbeviset:

 

La (a,b) = 1 og sqrt[2] = a/b.. Da følger det at

 

ax + by = 1 .. sqrt[2](ax + by) = sqrt[2] .. Dette ser vel en hver.

 

Så fortsetter vi med å substituere inn for a -->

 

sqrt[2](b*sqrt[2]*x + by) = sqrt[2]*(sqrt[2]bx + a*y/sqrt[2]) = 2bx + a*y = sqrt[2].. Men dette er jo en åpenbar motsigelse.

 

\square

[DrKarlsen]

Det er ikke standard, og er i tillegg knotete med lite forklaringer.

[kloffsk]

Dette vises lett ved "rational root theorem". (se min tidligere cite).

 

x^2 - 2 = 0.

 

Vel, skal denne ha løsninger i Q må disse løsningene være divisor av 2. Ved å sette inn -2,-1,1,2 ser vi at ingen av disse er løsninger.

 

Vi er ferdige.

\square

[eivind lunder]

På hvor mange måter kan det vel ikke vises at sqrt(2) ikke er rasjonalt?

 

 

Sommernøtter med stigende vanskelighetsgrad:

 

Algebra:

 

Lett: Hvis x=a/b, a /= 0, b /= 0, så er (a+b)/(a-b) lik...?

 

Middels: Faktoriser a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.

 

Vanskelig: Vis at ethvert polynom på formen f(x) = ((x - a_0)(x - a_1)...(x - a_n))^2 + 1, hvor alle a_i er heltall, ikke kan faktoriseres ut i to ikke-trivielle polynomer, begge med heltallskoeffesienter.

 

Tallteori:

 

Lett: Finn det minste positive heltallet n slik at sqrt(184*n) er et helt tall.

 

Middels: 1) Vis at likningen x^4 + 131 = 3y^4 ikke har noen heltalls-løsninger. 2) Tre frosker sitter på et gjerde. Hvert sekund hopper én frosk over de andre. Vis at etter 1985 sekunder kan de ikke være i startposisjonen.

 

Vanskelig: Bestem alle positive heltallspar (m,n) slik at (n^3 + 1)/(mn-1) er et heltall.

 

PS: De to vanskeligste oppgavene er hentet fra den internasjonale matematikk-olympiaden, så heder og ære til h*n som greier dem!

Endret 26. juni 2007 av eivind lunder

[deaktivert443556]

Lett: Finn det minste positive heltallet n slik at sqrt(184*n) er et helt tall.

8942292[/snapback]

Klikk for å se/fjerne innholdet nedenfor

46 184 414 736 1150 1656 2254 2944 3726 4600 5566 6624 7774 9016 10350 11776 13294 14904 16606 18400 20286 22264 24334 26496 28750 31096 33534 36064 38686 41400 44206 47104 50094 53176 56350 59616 62974 66424 69966 73600 77326 81144 85054 89056 93150 97336 101614 105984 110446 115000 119646 124384 129214 134136 139150 144256 149454 154744 160126 165600 171166 176824 182574 188416 194350 200376 206494 212704 219006 225400 231886 238464 245134 251896 258750 265696 272734 279864 287086 294400 301806 309304 316894 324576 332350 340216 348174 356224 364366 372600 380926 389344 397854 406456 415150 423936 432814 441784 450846 460000 469246 478584 488014 497536 507150 516856 526654 536544 546526 556600 566766 577024 587374 597816 608350 618976 629694 640504 651406 662400 673486 684664 695934 707296 718750 730296 741934

[eivind lunder]

Det er ét tall som er minst, nemlig 46, som står først i lista di.

Endret 25. juni 2007 av eivind lunder

[kloffsk]

Den lette oppgaven var i abelkonkurransen. Er jo bare å faktorisere 184 og easyeasy.

[kozeklumpen]

Den lette oppgaven var i abelkonkurransen. Er jo bare å faktorisere 184 og easyeasy.

 

Da blir det fort lett, ja.

 

Ny nøtt:

 

La F_n være det n-te Fibonaccitallet. Det er kjent hva F_{n+1}/F_n går mot når n->inf, men hva vet man om F_{n+2}/F_n når n->inf?

[SirDrinkAlot]

Den lette oppgaven var i abelkonkurransen. Er jo bare å faktorisere 184 og easyeasy.

 

Da blir det fort lett, ja.

 

Ny nøtt:

 

La F_n være det n-te Fibonaccitallet. Det er kjent hva F_{n+1}/F_n går mot når n->inf, men hva vet man om F_{n+2}/F_n når n->inf?

Kind of obvious. Siden vi vet at F_{n+1}/F_n går mot det "gylne snitt" ( phi=(1+sqrt(5))/2 ) når n går mot uendelig (Fun fact: Kepler var den første til å bevise dette.), så må F_{n+2}/F_n når n->inf, gå mot phi^2. Generellt så går F_{n+k}/F_n mot phi^k når n->inf.

Endret 20. januar 2011 av SirDrinkAlot

[kozeklumpen]

Den lette oppgaven var i abelkonkurransen. Er jo bare å faktorisere 184 og easyeasy.

 

Da blir det fort lett, ja.

 

Ny nøtt:

 

La F_n være det n-te Fibonaccitallet. Det er kjent hva F_{n+1}/F_n går mot når n->inf, men hva vet man om F_{n+2}/F_n når n->inf?

Kind of obvious. Siden vi vet at F_{n+1}/F_n går mot det "gylne snitt" ( phi=(1+sqrt(5))/2 ) når n går mot uendelig (Fun fact: Kepler var den første til å bevise dette.), så må F_{n+2}/F_n når n->inf, gå mot phi^2. Generellt så går F_{n+k}/F_n mot phi^k når n->inf.

 

 

Jeg er ikke helt enig med deg her.