n^3-​n er delelig med 6

[28teeth]

Vis at n³-n  er delelig med 6 når n er et naturlig tall større enn 1. 

 

n³-n 

 

= n(n²-1)

= n (n-1) (n+1)

 

 

6 har faktorene 2 og 3

 

Ser at uttrykket er delelig med 2, da n og (n+1) er to tall som kommer etter hverandre og da må et av tallene være partall.

 

Men hvordan er uttrykket er delelig med 3? Søkte dette på nettet, og jeg fant folk som viste til 

 

n (n-1) (n+1) 

 

og sa at det er tydelig at uttrykket kan deles med 3 .. 

 

Hundreogen takk til alle som hjelper! ;-)

 

[knopflerbruce]

Du har 3 etterfølgende tall på tallinjen, og da er akkurat 1 av dem delelig med tallet 3. Vet ikke hvor mye bevisføring som kreves, men du kan jo tenke slik: si du har heltallene k, k+1 og k+2. Ved divisjon med 3 har du 3 ulike muligheter, rest 0 (tallet er delelig med 3), rest 1 og rest 2. Antar du at k/3 har rest 0 går ett av dem, k, opp i 3, antar du at k/3 har rest 1 har (k+1)/3 rest 2 og (k+2)/3 rest 0, og k+2 går dermed opp i 3. Antar du til slutt at k/3 har rest 2 vil (k+1)/3 ha rest 0, og gå opp i 3.

Generelt er n etterfølgende heltall alltid delelig med n.

Jeg syns den med (polynom) delelig med 24 er morsommere, mistenker mange bare beviser at den er delelig med 12 uten at de er klar over det

Endret 9. november 2015 av knopflerbruce

[28teeth]

Ved divisjon med 3 har du 3 ulike muligheter

 

Tre muligheter fordi det er tre faktorer?

 

 

Generelt er n etterfølgende heltall alltid delelig med n.

 

 5 faktorer er delelig med fem for eksempel?

[Flin]

Vis at n³-n  er delelig med 6 når n er et naturlig tall større enn 1. 

 

n³-n 

 

= n(n²-1)

= n (n-1) (n+1)

 

 

6 har faktorene 2 og 3

 

Ser at uttrykket er delelig med 2, da n og (n+1) er to tall som kommer etter hverandre og da må et av tallene være partall.

 

Men hvordan er uttrykket er delelig med 3? Søkte dette på nettet, og jeg fant folk som viste til 

 

n (n- 1) (n+1)

og sa at det er tydelig at uttrykket kan deles med 3 .. 

 

Hundreogen takk til alle som hjelper! ;-)

 

Induksjon.

 

1: Start med et tilfelle og vist at det er sant. Siden vi skal vise det for n > 1 starter jeg med n = 2.

 

2*2*2 - 2 = 6. 6/6 = 1.

 

2: Anta at er delelig med 6. Her er k et natruligtall. 

 

3: Vis at er delelig med 6 for n = k+1. Under antagelsen vi har fra steg 2.

.

Det første lett har vi antatt at er delelig med 6. Det andre leddet må vi tenke litt på.

. Vi vet at 6=2*3 og det er alt vi trenger vite. Siden vi har en faktor som er k og en som er k+1. Hvis k er et oddetall er k+1 et partall, et multiplum av 2, og hvis k er et partall ja da er k et partall. Derfor vil vi alltid ha en faktor 2 i det tallet og 3*2 = 6. QED.

 

Burde kanskje legg til det siste steget. Siden du nå har bevist at hypotesen holder for n = 2 og at hvis den holder så holder den for n=n+1. Ja da vet du at det holder for 3,4,5,6 osv.

Endret 9. november 2015 av Flin

[28teeth]

 

Induksjon.

1: Start med et tilfelle og vist at det er sant. Siden vi skal vise det for n > 1 starter jeg med n = 2.
 

2*2*2 - 2 = 6. 6/6 = 1.

2: Anta at er delelig med 6. Her er k et natruligtall. 

3: Vis at er delelig med 6 for n = k+1. Under antagelsen vi har fra steg 2.

.

Det første lett har vi antatt at er delelig med 6. Det andre leddet må vi tenke litt på.

. Vi vet at 6=2*3 og det er alt vi trenger vite. Siden vi har en faktor som er k og en som er k+1. Hvis k er et oddetall er k+1 et partall, et multiplum av 2, og hvis k er et partall ja da er k et partall. Derfor vil vi alltid ha en faktor 2 i det tallet og 3*2 = 6. QED.

 

Burde kanskje legg til det siste steget. Siden du nå har bevist at hypotesen holder for n = 2 og at hvis den holder så holder den for n=n+1. Ja da vet du at det holder for 3,4,5,6 osv.

 

 

Er det greit å anta at k³-k er delelig med 6, når det er dette vi skal vise?

[Elefantmesteren]

(n-1), n og (n+1) er tre tall som følger hverandre på tallrekka. Hvert tredje tall på tallrekka har en faktor tre (3, 6, 9, 12 osv). Altså er det alltid nøyaktig to tall som ikke har faktor 3, imellom de tall som har faktor 3. Siden vi har tre tall, så kan de ikke alle være imellom to tall med faktor 3, altså må et ha faktor 3.

 

Samme gjelder for tallet 2, ettersom det bare er et tall uten faktor 2, mellom tall med faktor to.

[knopflerbruce]

 

Ved divisjon med 3 har du 3 ulike muligheter

 

Tre muligheter fordi det er tre faktorer?

 

Generelt er n etterfølgende heltall alltid delelig med n.

 

 5 faktorer er delelig med fem for eksempel?

 

 

Faktorene må være tre/fem etterfølgende tall. Du kan sortere n(n-1)(n+1) som (n-1)n(n+1), f.eks. og de er da tre etterfølgende tall. Personlig syns jeg dette er enklere enn induksjon, men bare bra man har flere løsninger

[Elefantmesteren]

Er det greit å anta at k³-k er delelig med 6, når det er dette vi skal vise?

 

Ja. Antagelsen brukes ikke til å vise at k^3-k alltid er delelig med 6, men at (k+1)^3-(k+1) også alltid er delelig med 6 dersom k^3-k er det.

[Flin]

 

Induksjon.

1: Start med et tilfelle og vist at det er sant. Siden vi skal vise det for n > 1 starter jeg med n = 2.

 

2*2*2 - 2 = 6. 6/6 = 1.

 

2: Anta at er delelig med 6. Her er k et natruligtall. 

 

3: Vis at er delelig med 6 for n = k+1. Under antagelsen vi har fra steg 2.

.

Det første lett har vi antatt at er delelig med 6. Det andre leddet må vi tenke litt på.

. Vi vet at 6=2*3 og det er alt vi trenger vite. Siden vi har en faktor som er k og en som er k+1. Hvis k er et oddetall er k+1 et partall, et multiplum av 2, og hvis k er et partall ja da er k et partall. Derfor vil vi alltid ha en faktor 2 i det tallet og 3*2 = 6. QED.

 

Burde kanskje legg til det siste steget. Siden du nå har bevist at hypotesen holder for n = 2 og at hvis den holder så holder den for n=n+1. Ja da vet du at det holder for 3,4,5,6 osv.

 

 

Er det greit å anta at k³-k er delelig med 6, når det er dette vi skal vise?

 

 

Ja det er hele poenget med induksjons bevis. Du antar egentlig ikke at k^3 -k er delelig med seks, men du sjekker om (k+1)^3 -(k+1) er delelig med seks hvis k^3 -k er det. Så sjekker om antagelsen holder for k+1 gitt at den holder for k. Det er et svakere utsagn en det du skal bevise. 

 

Så når du har bevist at det holder og du vet at det holder for 2 er du ferdig. Det tok meg litt tid å forstå induksjon, men når det gikk opp for meg var det kjempe logisk og jeg var litt flau over hvor lang tid det tok. Anbefaler at du googler det litt, er sikkert mye fine youtube klipp og wikipedia artikler.

[28teeth]

Ja det er hele poenget med induksjons bevis. Du antar egentlig ikke at k^3 -k er delelig med seks, men du sjekker om (k+1)^3 -(k+1) er delelig med seks hvis k^3 -k er det. Så sjekker om antagelsen holder for k+1 gitt at den holder for k. Det er et svakere utsagn en det du skal bevise. 

Så når du har bevist at det holder og du vet at det holder for 2 er du ferdig. Det tok meg litt tid å forstå induksjon, men når det gikk opp for meg var det kjempe logisk og jeg var litt flau over hvor lang tid det tok. Anbefaler at du googler det litt, er sikkert mye fine youtube klipp og wikipedia artikler.

 

Det er mye å ta inn her. Men mange takk. 

 

(dere over også, takk!)

Endret 10. november 2015 av 28teeth