Den enorme matteassistansetråden

wertyuiopå · 29. desember 2017

Fra 2P-Y oppg: 1.53 noen som kan forklare dette?

En bank tilbyr 3,0% rente per år på en konto. Det blir satt inn 15000,- på kontoen hvert år. Oppgave A) hvor mye står det på kontoen etter tre år og rentene er lagt til det tredje året? (fasit: 47 754,-)

Oppgave B) forklar at det står 15000 * 1,03 * (1+1,03+1,03^2+...+1,03^n-1') kr i banker etter n år dersom det blir forstsatt med den samme spareordningen. (fasit: multipliser ut parentesen. Det første ledet i summen svarer til verdien av innskuddet som ble gjort for et år siden. Det neste leddet svarer til verdien av innskuddet fra to år tilbake. Slik fortsetter det. Det siste leddet svarer til det førsteinnskuddet.)

Alt er jo forklart i oppgave b?

Jeg skjønner ikke den forklaringen

PopcornFest · 29. desember 2017

År 1:

Innskudd 15000, rente 3% gir sluttverdi på 15000 * 1.03

År 2:

Innskudd 15000, rente 3%, eksisterende beløp på konto er 15000 * 1.03

Sluttverdi blir da: [eksisterende beløp på konto + nytt beløp] * rente = [15000 * 1.03 + 15000] * 1.03 = 15000 * 1.03^2 + 15000 * 1.03

År 3:

Innskudd 15000, rente 3%, eksisterende beløp på konto er 15000 * 1.03^2 + 15000 * 1.03

Sluttverdi blir da: [15000 * 1.03^2 + 15000 * 1.03 + 15000] * 1.03 = 15000 * 1.03^3 + 15000 * 1.03^2 + 15000*1.03

Begynner du å se et mønster? Ved å refaktorere litt får du utrykket du leter etter i oppgave b.

(Hint: Faktorer ut 15000 og den ene 1.03-faktoren.)

primax · 5. januar 2018

Jeg har en funksjon med delt forskrift

som ser slik ut:

Om jeg endrer definisjonsmengden til det åpne intervallet <-4,4>, har jeg visstnok ingen globale maksimalpunkter på grunn av det åpne intervallet. Jeg sliter litt med å forstå hvorfor det er slik. Er det fordi det åpne intervallet betyr at funksjonen fortsetter utenfor definisjonsområdet, og at Df med lukket intervall betyr at funksjonen kun eksisterer i definisjonsområdet og at det er grunnen til at vi da har globale maksimumspunkt? Hvorfor har det isåfall betydning, er det ikke punktene innenfor gitt definisjonsområdet jeg finner uansett?

Endret 5. januar 2018 av primax

knopflerbruce · 5. januar 2018

Det er matematiske begreper, og de trenger ikke alltid å gi mening om man leser dem "bokstavelig", slik man gjør når man tenker på et "maksimumspunkt". Du kan se for deg at du trasker opp et fjell hvor endepunktet ditt ikke er med i "turen", men du kan komme uendelig nært. I alle praktiske sammenhenger vil punktet du ikke kan nå helt være ditt "maksimalpunkt", men det trenger ikke være det korrekte rent matematisk. Dette omhandler jo også hva et punkt faktisk er.

For lenge siden jeg leste om dette til at jeg ønsker gå inn i detaljer, dog.

Endret 5. januar 2018 av knopflerbruce

cuadro · 5. januar 2018

Her gir det dog mening, fordi det er inget eksakt punkt du kan si at har størst verdi. La oss si du velger $(3.99,f(3.99))$ som ditt maksimalpunkt. Vel, $(3.999,f(3.999))$ er større. Siden intervallet ditt er åpent, så er det inget eksakt punkt hvor den stopper. Du kunne hatt et punkt et annet sted på grafen hvor den er høyere enn verdien grafen går mot når $chart?cht=tx&chl=x\rightarrow\pm 4$ , men siden du ikke har det og for alle punkter $(x,f(x))$ finnes det et punkt $(y,f(y))$ s.a. $f(y)$ , så finnes det ikke ett enkelt punkt som er det største punktet.

Lemma: Dersom det for alle punkter $(x,f(x))$ på en graf, finnes et punkt $(y,f(y))$ s.a. $f(y)$ , så har ikke grafen et globalt maksimum.

Endret 5. januar 2018 av cuadro

primax · 5. januar 2018

cuadro: Takk. Jeg hadde helt glemt noe helt grunnleggende, nemlig at åpent intervall betyr at endepunktene ikke er med. Juleferien ble kanskje litt for lang..

Tsukeo · 6. januar 2018

Holder på å lære meg integraler nå som del av matematikk R2. Har begynt med integrasjonsreglene for trigonometriske funksjoner, men det er noe som er litt uklart for meg. Jeg har ikke boken, og bruker derfor nettstedet NDLA. Er for øyeblikket på denne leksjonen: https://ndla.no/nb/node/118668?fag=9836

Helt nederst forklares det hvordan man antideriverer (1 / cos²kx) og (1 + tan²kx). Dette er sikkert bare pirk, men er ikke disse funksjoner? Skal det ikke da være (1 / cos²(kx)) og (1 + tan²(kx)), og disse skal da bli (1 / k) * tan²(kx) kontra (1 / k) * tan²kx. Slik det står på nettstedet virker det som om man skal gange tan² med kx, og det gir ikke helt mening.

cuadro · 6. januar 2018

Du har rett, det gir ikke mening, og derfor er det underforstått at notasjonen betyr noe som gir mening, nemlig $chart?cht=tx&chl=\tan^2{kx}\;:=\;\tan^2{(kx)}\;:=\;(\tan{(kx)})^2$ . Men det er dårlig notasjon, du burde ikke overta de dårlige vanene, fortsett slik du selv har tenkt.

Tsukeo · 6. januar 2018

Er den midterste den beste notasjonen, da? Ble litt usikker fra eksempelet ditt. I GeoGebra vil den jeg skal bruke tan(kx)^2, men det er vel trolig fordi den kjører tan som en funksjon, antar jeg.

cuadro · 6. januar 2018

Når du selv skriver for hånd så bestemmer du selv notasjon. Matematiske verktøy som geogebra, symbolab, wolframalpha osv. vil ikke nødvendigvis forstå din notasjon. Den siste notasjonen er den som legger færrest underforståtte betydninger til grunn, og dermed den "beste" ift. å bruke slike verktøy.

God notasjon er entydig, og krever få underforståtte sammenhenger, og etter dette er den kort.

La oss ta eksemplene på nytt igjen: $chart?cht=tx&chl=\tan^2{kx}\;:=\;\tan^2{(kx)}\;:=\;(\tan{(kx)})^2$

Fra venstre til høyre: Den første er ikke entydig, da den kan bety at x ganges med tangensfunksjonen benyttet på k, kvadrert, eller at tangengsfunksjonen benyttes på kx kvadrert. Kun fra kontekst kan den tydes riktig. Den i midten er kort, og entydig, som er bra, men den forutsetter at det er kjent at det er funksjonen benyttet på kx som kvadreres, og ikke kx. Den tredje er entydig og forutsetter mindre underforstått kunnskap, men er derimot litt lengre.

Både nummer to og tre er gode nok, nummer to fordi den er så vanlig brukt at betydningen er underforstått av mennesker, men nummer tre kan være nødvendig for noen matematiske verktøy.

Edit: $chart?cht=tx&chl=\tan{(kx)}^2$ er forøvrig ikke entydig, da det enten kan menes $chart?cht=tx&chl=\tan{((kx)^2)}$ eller $chart?cht=tx&chl=(\tan{(kx)})^2$ . Geogebra tolker dette som $chart?cht=tx&chl=(\tan{(kx)})^2$ , men det er fort gjort å få gale resultater med ikke-entydig notasjon.

Endret 6. januar 2018 av cuadro

knopflerbruce · 6. januar 2018

Her gir det dog mening, fordi det er inget eksakt punkt du kan si at har størst verdi. La oss si du velger $(3.99,f(3.99))$ som ditt maksimalpunkt. Vel, $(3.999,f(3.999))$ er større. Siden intervallet ditt er åpent, så er det inget eksakt punkt hvor den stopper. Du kunne hatt et punkt et annet sted på grafen hvor den er høyere enn verdien grafen går mot når $chart?cht=tx&chl=x\rightarrow\pm 4$ , men siden du ikke har det og for alle punkter $(x,f(x))$ finnes det et punkt $(y,f(y))$ s.a. $f(y)$ , så finnes det ikke ett enkelt punkt som er det største punktet.

Lemma: Dersom det for alle punkter $(x,f(x))$ på en graf, finnes et punkt $(y,f(y))$ s.a. $f(y)$ , så har ikke grafen et globalt maksimum.

På den annen side gir det jo ingen mening i og med grenseverdien faktisk er en øvre grense for hvor høyt du kan komme - uavhengig av om akkurat den verdien er med eller ikke. Siden punktet ikke har noen utstrekning kommer du deg like langt opp fjellet med eller uten endepunktet, så forskjellen (etter mitt skjønn) blir en matematisk kontruksjon, heller enn noe som har praktisk nytteverdi - og da er det ikke så rart om en praktisk analogi ikke gir så mye mening.

cuadro · 6. januar 2018

Du kommer deg aldri til grenseverdien. Grenseverdien er en verdi funksjonen går mot, men aldri når. Dersom funksjonsintervallet er lukket, så er grenseverdien en verdi du faktisk når i ett eksakt punkt.

knopflerbruce · 6. januar 2018

Korrekt, jeg sier ikke noe imot det. Jeg bare poengterer at hele greia er en matematisk konstruksjon som det er vanskelig å finne en praktisk analog til. I praksis er det ett fett om endepunktet er med eller ikke, men i matematikkens verden er det ikke slik. I det virkelige liv vil vi som oftest ta med endepunktet, uansett.

turbobjørn · 7. januar 2018

Hei! Noen som kan hjelpe meg litt med geometri i Sinus R1?

A) 4.145) a) b) https://i.imgur.com/Ea9vcLb.jpg

a) Har løst denne slik: https://i.imgur.com/LOjcSXk.jpg. I denne oppgaven har jeg utnyttet midtnormaler og tilhørende egenskaper.

b) Har løst denne slik: https://i.imgur.com/ehfXGUK.jpg. I denne oppgaven har jeg utnyttet halveringslinjer og tilhørende egenskaper.

Det jeg lurer på i både a) og b) er: oppgaven er gitt i 4.4 (konstruksjon med passer og linjal), men for å løse disse har jeg måttet bruke teori fra 4.6 (midtnormaler i trekanter) og 4.8 (halveringslinjer). Er det noen annen måte å løse a) og b), slik at jeg faktisk bruker teori jeg har lært frem til 4.4 eller er man nødt til å anvende teori fra senere delkapitler (slik jeg har gjort) for å finne løsningene?

B) 4.162) https://i.imgur.com/Um8Dy4Y.jpg

Denne har jeg klart å løse, men jeg har løst den på to måter.

Alternativ 1 https://i.imgur.com/pOwUDYg.jpg

Tegnet S1, P og Q tilfeldig og slo en sirkel med sentrum i S1 og perferipunkt i P. Trakk en linje fra P til Q, fant midtpunktet på denne linjen, S2, og brukte den som sentrum i en sirkel med P og Q som periferipunkter.

Alternativ 2 https://i.imgur.com/mGj92oU.jpg

Tegnet S1, P og Q tilfeldig og slå en sirkel med sentrum i S1 og periferipunkt i P. Tegnet en tangent til punktet P og reiste en normal på tangenten i punktet P. Trakk en linje mellom P og Q og reiste en midtnormal til linjestykket PQ. Satte av et punkt, S2, i skjæringspunktet mellom disse to normalene. Slo en sirkel med sentrum i S2 og med P og Q som periferipunkter.

Spørsmålet mitt er: er begge disse metodene riktige? Jeg føler det er mer holdepunkt i alternativ 2, men jeg klarer ikke helt å sette fingeren på hva eventuelt er gale i alternativ 1.

knopflerbruce · 7. januar 2018

Det hender det er noe kløneri med oppgavene, slik at de antar at du kan noe som først kommer senere. Men ellers mener jeg at logikken bak løsningen ved midtnormalmetoden er så åpenbar at den fint kan brukes uten videre bevisføring i oppgaver til et tidligere oppslag. Du lager to normaler, hvor hver normal angir den mengden punkter som er like langt fra to av de tre opprinnelige punktene. Det følger DIREKTE fra dette at skjæringspunktet mellom normalene er like langt fra alle de tre punktene. Den samme logikken ligger bak konseptet med halveringslinjer: hver halveringslinje er like langt fra to andre linjer, og da må nødvendigvis skjæringspunktet mellom to halveringslinjer være like langt fra alle de tre linjene.

Tsukeo · 8. januar 2018

Holder på med oppgaver om delbrøksoppspalting og føler selv jeg forstår konseptet godt.

Jeg kom bare over en oppgave hvor nevneren er et tredjegradspolynom, og har ingen anelse hvordan jeg skal faktorisere det. Jeg vurderer å bare bruke polynomdivisjon med en del vilkårlige tall og deretter klaske på med en andregradslikning for å kunne faktorisere den fullstendig.

Er det noen tips og triks for å kunne faktorisere slike uttrykk?

Uttrykket in question er:

(x^2 + x + 13) / (x^3 - 2x^2 - 5x + 16), og jeg skal altså faktorisere nevneren.

knopflerbruce · 8. januar 2018

Løs andregradsligningen i telleren først, og tenk litt på hva du kan gjøre med de løsningene

cuadro · 8. januar 2018

Hvilket nivå arbeider du fra? Videregående? Er vanskelig å jobbe med imaginære tall før du har fått vite om dem.

Tsukeo · 9. januar 2018

Haha, ser nå at telleren ikke kan faktoriserer pga det cuadro snakket om.

Jeg endte opp med å bare polynomdividere med vilkårlige tall, og kom fram til en faktorisert utgave. Er det forresten noen "uskreven regel" over hvilke begrep som skal være først etter faktorisering? Jeg pleier å sortere dem fra lavest konstant til høyest, men ser at læreboken jeg bruker tar de negative begrepene først.

Jeg får jo selvsagt samme svar uansett hva jeg bruker, men er det lettere å jobbe med faktorisering på måten læreboken gjør?

the_last_nick_left · 9. januar 2018

Se over faktoriseringen din en gang til..

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Hvem er aktive 0 medlemmer