Mystiske problemer: det forsvunne kvadrat

[bfisk]

Da måtte man ha telt enten eller på alle andre ting også, og du hadde stått igjen med bare et spill. Man kan feks ikek velge ALLE lukene.

 

Men en ting som slo meg: Hvis deltakeren velger riktig luke på første forsøk, så blir såklart ikek den åpnet? Det har ingenting å si det, egentlig? Hvis det er slik, har jeg misforstått hele oppgava.

 

..og jeg som skulle gjøre lekser...

 

bfisk

[RottePostei]

Diskuterer dere dette ennå???

Simulering viser at svaret er 2/3 sannsynlighet for bil ved bytte, og det samme sier matematikerene. Jeg quota ei mattebok fra NTNU tidligere som tilsa at 2/3 er riktig.

 

Og hvordan i all verden får dere at sjansen for å tippe rett i første valget er 2/4. Den er da vitterlig 1/3. Ikke bland korta nå.

 

Edit:

Sofokles forklaring var utrolig enkel å forstå:

I et av tre tilfeller velger du riktig med en gang og bytte medfører tap.

 

I to av tre tilfeller velger du feil og bytte medfører at du kan kjøre hjem

Endret 5. februar 2004 av RottePostei

[sluffy]

kommer det noen nye oppgaver her snart?

[sofokles]

Ny :

 

En fjellklatrer starter klokken 0600 fra basecamp oppover mot fjelltoppen og kommer frem utpå dagen.

 

Han overnatter der oppe og starter turen ned igjen klokken 0600. Han går samme vei ned som han gikk opp.

 

Vi vet ingenting om farten han holder opp/ned.

 

Vil han på nedturen på noe tidspunkt være på samme sted som dagen før til samme klokkeslett ?

 

Hvis ja/nei : hvorfor?

[RottePostei]

Nok en løsning som bruker sansynlighetsberegning for å forklare:

Game show setting. There are 3 doors, behind one of which is a prize. Monty Hall, the host, asks you to pick a door, any door. You pick door A (say). Monty opens door B (say) and shows voila there is nothing behind door B. Gives you the choice of either sticking with your original choice of door A, or switching to door C.

 

The a priori probability that the prize is behind door X, P(X) = 1/3

 

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind A,

P(Monty opens B|A) = 1/2

 

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind B,

P(Monty opens B|B) = 0

 

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind C,

P(Monty opens B|C) = 1

 

The probability that Month Hall opens door B is then

p(Monty opens B) = p(A)*p(M.o. B|A) + p(B)*p(M.o. B|B) + p©*p(M.o. B|C)

                 = 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2

 

Then, by Bayes' Theorem,

 

P(A|Monty opens B) =  p(A)*p(Monty opens B|A)/p(Monty opens B)

                   = (1/6)/(1/2)

                   = 1/3

and

P(C|Monty opens B) = p©*p(Monty opens B|C)/p(Monty opens B)

                   = (1/3)/(1/2)

                   = 2/3

 

In other words, the probability that the prize is behind door C is higher when Monty opens door B, and you SHOULD switch

 

edit:glemte å ta med en bit

Endret 5. februar 2004 av RottePostei

[sluffy]

Ny :

 

En fjellklatrer starter klokken 0600 fra basecamp oppover mot fjelltoppen og kommer frem utpå dagen.

 

Han overnatter der oppe og starter turen ned igjen klokken 0600. Han går samme vei ned som han gikk opp.

 

Vi vet ingenting om farten han holder opp/ned.

 

Vil han på nedturen på noe tidspunkt være på samme sted som dagen før til samme klokkeslett ?

 

Hvis ja/nei : hvorfor?

Hvis han holder samme fart opp og ned vil han vel være på samme sted til samme tid en eller annen gang. Og hvis ikke jeg tar helt feil vil han vel ikke være på samme sted til samme tid to ganger hvis han har ulik fart.

[sofokles]

Utfra at det er bratt kan vi anta at det går fortere ned enn opp.

[bfisk]

Nok en løsning som bruker sansynlighetsberegning for å forklare:

Game show setting. There are 3 doors, behind one of which is a prize. Monty Hall, the host, asks you to pick a door, any door. You pick door A (say). Monty opens door B (say) and shows voila there is nothing behind door B. Gives you the choice of either sticking with your original choice of door A, or switching to door C.

 

The a priori probability that the prize is behind door X, P(X) = 1/3

 

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind A,

P(Monty opens B|A) = 1/2

 

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind B,

P(Monty opens B|B) = 0

 

The probability that Monty Hall opens door B if the prize were behind C,

P(Monty opens B|C) = 1

 

The probability that Month Hall opens door B is then

p(Monty opens B) = p(A)*p(M.o. B|A) + p(B)*p(M.o. B|B) + p©*p(M.o. B|C)

                 = 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2

 

Then, by Bayes' Theorem,

 

P(A|Monty opens B) =  p(A)*p(Monty opens B|A)/p(Monty opens B)

                   = (1/6)/(1/2)

                   = 1/3

and

P(C|Monty opens B) = p©*p(Monty opens B|C)/p(Monty opens B)

                   = (1/3)/(1/2)

                   = 2/3

 

In other words, the probability that the prize is behind door C is higher when Monty opens door B, and you SHOULD switch

 

edit:glemte å ta med en bit

Jeg tror det begynner å sige inn. Jeg får vel bite i det grønne eplet og medgi at nå virker det ikke lengre usannnsynlig at det kan være 2/3. Men bevares - denne oppgaven er svært diskutérbar.

 

Flere oppgaver, ja!

 

 

bfisk

[sluffy]

er vi ikke snart ferdig med den døroppgaven no?

[bfisk]

Ny :

 

En fjellklatrer starter klokken 0600 fra basecamp oppover mot fjelltoppen og kommer frem utpå dagen.

 

Han overnatter der oppe og starter turen ned igjen klokken 0600. Han går samme vei ned som han gikk opp.

 

Vi vet ingenting om farten han holder opp/ned.

 

Vil han på nedturen på noe tidspunkt være på samme sted som dagen før til samme klokkeslett ?

 

Hvis ja/nei : hvorfor?

Han vil være på samme sted til samme tid én gang under nedstigningen, gitt at han aldri beveger seg oppover igjen. Hvis vi setter det opp grafisk, der vi har avstand fra basecamp på andreaksen og tidspunkt på dagen på førsteaksen. Grafen for turen oppover vi da ha en gjennomsnittlig stigning opp til et nivå y. På y starter den andre grafen, for dag to, dog med x-verdi på 06, slik som den andre. den skal ned til null, og må ha en gjennomsnittlig synkning. Det mest sannsynlige vil være at de krysses én gang. Dersom klatreren på noe tidspunkt snur, går noe tilbake, snur og går frem igjen, vil det være mulig å være på samme sted til samme tidspunkt opptil flere ganger.

 

Am I right this time?

 

 

bfisk

Endret 5. februar 2004 av bfisk

[sofokles]

Yep, bortsett fra at hen neppe kan være på samme sted til samme TIDSPUNKT flere ganger.

 

Hvis du tenker deg to klatrere ser du svaret med en gang.

 

En starter fa bunnen, en fra toppen, de møtes et eller annet sted , samtidig naturligvis.

 

Det samme skjer for den ene klatreren, men med ett døgns forskyvning.

[bfisk]

En anna fiffig matteoppgave jeg leste et eller anna sted:

 

Hva er halvparten av to tredeler av tre firedeler av fire femdeler av fem seksdeler av seks sjudeler av sju åttedeler av åtte nideler av ni tildeler av hundre?

 

Den er egentlig ikke vanskelig i det hele tatt, men jeg pesa verre før jeg skjønte cluet. Mor mi fikk totalt hetta og nekta å se på den

[sofokles]

Fant en til :

 

Du er hos legen og har fått svar på en prøve.

 

Du har testet positivt på en sjelden men dødelig sykdom. "Hvor nøyaktig er testen" spør du. " Ganske nøyaktig" svarer legen " den gir riktig svar på 90% av prøvene"

 

Bør du skrive testamentet og planlegge begravelse ?

 

Med andre ord : Omtrent hvor stor andel av de som tester positivt på denne testen har antakelig IKKE denne sykdommen ?

 

a 9%

b 10%

c 50%

d 90%

e 99%

Endret 5. februar 2004 av sofokles

[bfisk]

Fant en til :

 

Du er hos legen og har fått svar på en prøve.

 

Du har testet positivt på en sjelden men dødelig sykdom. "Hvor nøyaktig er testen" spør du. " Ganske nøyaktig" svarer legen " den gir riktig svar på 90% av prøvene"

 

Bør du skrive testamentet og planlegge begravelse ?

 

Med andre ord : Omtrent hvor stor andel av de som tester positivt på denne testen har antakelig IKKE denne sykdommen ?

 

a 9%

b 10%

c 50%

d 90%

e 99%

Hvis vi regner med at nøyaktigheten er på 9 av 10 riktigige både på positive og negative tester, er det 90% sannsynlighet for at man har sykdommen. Mao er det 1 av 10 som blir feildiagnostisert: det er da 10% sannsynlighet for at det er feil.

 

Eller er det no fancy fiksfakseri her også?

 

 

bfisk

 

(either way, it's noot good, tho )

 

bfisk

[sofokles]

Svaret er ikke så enkelt.

[mandela]

populasjon: 10000 personer

rikrig diagnose: 9000 personer

feil diagnose: 1000 personer

sykdommen er sjelden: 1 av 10000

99.9% sjanse for at man ikke har sykdommen selv om man testet positivt

 

det er fint her på finnmarksvidda utpå et jorde

[bfisk]

sykdommen er sjelden: 1 av 10000

At sykdommen er sjelden i akkurat det forholdet, er det jo ingen som har påstått, er det det, da? Det tar seg svært dårlig ut å finne på nye opplysninger i en oppgave.

 

Spørsmålstiller: har du noen hint?

 

bfisk

[Kina bill]

Ang. Monty Hall Paradox (bil/luke) problematikken.

 

Jeg hadde også store problemer med å svelge dette med en gang. Men er nå overbevist. Det finnes et hav av sider på nettet som forklarer dette.

 

Og for de som fremdeles ikke tror -oddsen- er 2/3 ved å bytte, så er dere ikke alene.

 

Dette under her er skrevet av R. Webster West, (Dept. of Statistics, Univ. of South Carolina).

 

<Saksa fra http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/LetsMakeaDeal.html >

 

As a motivating example behind the discussion of probability, an applet has been developed which allows students to investigate the Let's Make a Deal Paradox. This paradox is related to a popular television show in the 1970's. In the show, a contestant was given a choice of three doors of which one contained a prize. The other two doors contained gag gifts like a chicken or a donkey. After the contestant chose an initial door, the host of the show then revealed an empty door among the two unchosen doors, and asks the contestant if he or she would like to switch to the other unchosen door. The question is should the contestant switch. Do the odds of winning increase by switching to the remaining door?

 

The intuition of most students tells them that each of the doors, the chosen door and the unchosen door, are equally likely to contain the prize so that there is a 50-50 chance of winning with either selection. This, however, is not the case. The probability of winning by using the switching technique is 2/3 while the odds of winning by not switching is 1/3. The easiest way to explain this to students is as follows. The probability of picking the wrong door in the initial stage of the game is 2/3. If the contestant picks the wrong door initially, the host must reveal the remaining empty door in the second stage of the game. Thus, if the contestant switches after picking the wrong door initially, the contestant will win the prize. The probability of winning by switching then reduces to the probability of picking the wrong door in the initial stage which is clearly 2/3.

 

Despite a very clear explanation of this paradox, most students have a difficulty understanding the problem. It is very difficult to conquer the strong intuition which most students have in this case. As a challenge to students who don't believe the explanation, an instructor may ask the students to actually play the game a number of times by switching and by not switching and to keep track of the relative frequency of wins with each strategy. An applet has developed which allows students to repeatedly play the game and keep track of the results.

 

Rune.

[sofokles]

At sykdommen er sjelden i akkurat det forholdet, er det jo ingen som har påstått, er det det, da? Det tar seg svært dårlig ut å finne på nye opplysninger i en oppgave.

 

Dette er en vanlig misforståelse. Det intuitive svaret er det du Bfisk kom med først, altså at 90 % av de som diagnostiseres har sykdommen og at 10 % er feildiagnostisert. For at det skal stemme, må dette være en meget vanlig sykdom og 50% av populasjonen må ha den. Det at det er en sjelden sykdom er derfor cluet for å løse oppgaven.

 

Prøv med 1 av 1000 , 1 av 100, 1 av 10 , etc så ser du det . Til og med ved 1 av 10 - altså en ganske vanlig sykdom vil 50% av de som får diagnosen være feildiagnostisert.

 

Det dette betyr er at tester som skal gi 90% sikkerhet (feks løgndetektortester) ikke er særlig sikre når fenomenet som testes ikke er veldig vanlig.

 

Feks vil en løgndetektortest med 90% sikkerhet gi veldig mange uskyldig dømte :

 

Hvis en av 1000 er drapsmann - vil 99% av alle som dømmes på grunnlag av en løgndetektortest være uskyldige.

Endret 6. februar 2004 av sofokles

[sofokles]

NY :

 

Du stokker kortstokken din og får en tilfeldig rekkefølge på kortene.

 

 

Anta at alle på kloden har hver sin kortstokk - at de stokker kortene en gang i sekundet - døgnet rundt - hele livet hvis det skulle være nødvendig.

 

Hvor lang tid vil det sannsynligvis ta før noen får den samme rekkefølgen på kortene som deg ? Du kan anta at jorden befolkning er 5 milliarder.

 

a : 1 minutt

b : 1 time

c : 1 dag

d : 1 uke

e : 1 måned

f : 1 år

g : 1 tiår

h : 1 århundre

i : 1 årtusen

j : lenger

Endret 7. februar 2004 av sofokles