Den enorme matteassistansetråden

Jaffe · 19. oktober 2011

Hvis jeg forstår deg rett så vil ikke denne strategien din fungere så veldig godt. Når du splitter opp og forkorter så blir du nødt til å gange opp med nettopp den/de faktorene du har forkortet for å få uttrykket på fellesbrøkstrek...

I disse oppgavene er det nok lurest å først faktorisere teller og nevner mest mulig, deretter se etter eventuelle kvadratsetninger som kan benyttes. Vi begynner med å se på den første oppgaven:

$chart?cht=tx&chl=\frac{2x^2 - 2}{x^2-x}$

I teller kan vi faktorisere ut 2, siden 2 er en felles faktor i begge ledd. I nevneren kan vi faktorisere ut x. Vi får da:

$chart?cht=tx&chl=\frac{2x^2-2}{x^2 - x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x(x-1)}$

Nå bør kvadratsetningalarmen begynne å gå, for faktoren vi har til høyre i telleren nå gjenkjenner vi som $x^2 - 1^2 = (x-1)(x 1)$ (3. kvadratsetning / konjugatsetningen.) VI har altså at

$chart?cht=tx&chl=\frac{2x^2-2}{x^2-x} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$

Da regner jeg med at saken er grei. Tar du og ser på b)-oppgaven selv, Tsjuden? Prøv å følge samme tankegang.

super0 · 20. oktober 2011

hvordan skal jeg finne inverse til denne ?

hvordan skal jeg finne inverse til denne ?

jeg mentee denne f(x) = x^5−3x^3+ 5x + 1.

Hugol · 20. oktober 2011

forstår ikke hvordan (4^1/2)^2 blir til 2.

Artorp · 20. oktober 2011

(4^1/2)^2 blir 4, ikke 2.

the_last_nick_left · 20. oktober 2011

forstår ikke hvordan (4^1/2)^2 blir til 2.

Like greit i og med at det ikke blir det.. 4^1/2, derimot, det er 2. Opphøyd i 1/2 er en annen måte å skrive kvadratrot på.

OpAmp · 20. oktober 2011

.

Endret 20. oktober 2011 av Kam

Hugol · 20. oktober 2011

Beklager, mente (4^1/4)^2

luckysim1 · 20. oktober 2011

hvordan skal jeg finne inverse til denne ?

hvordan skal jeg finne inverse til denne ?

jeg mentee denne f(x) = x^5−3x^3+ 5x + 1.

Du trenger ikke finne den inverse dersom det er den deriverte til den inverse i et punkt du er ute etter. Alt du trenger å gjøre er å finne hvilken x som gir f(x) = 1. Da blir den deriverte av den inverse i 1 = 1/f'(tallet du finner)

OpAmp · 20. oktober 2011

Beklager, mente (4^1/4)^2

Da tar du og ganger sammen eksponentene: 1/4*2=1/2

Deretter 4^1/2=root(4))=2

Hugol · 20. oktober 2011

Takk skal du ha!

jostein013 · 20. oktober 2011

Hei folkens!

Sliter litt med å løse følgende differensiallikning:

y''-3y' = 18e^3x

Blir ikke partikulærløsningen til høyre side av likningen, y_p, lik Ke^3x?

Da ender jeg i så fall opp med den partikulære løsningen 9Ke^3x-9Ke^3x = 18e^3x

Det gir jo ikke mening?

Jaffe · 20. oktober 2011

Det er riktig at det ikke vil gi noe mening. Men det finnes en partikulærløsning til ligningen (eller strengt tatt flere.) Dette er en ligning du kan løse ved å benytte en metode som du sikkert har sett før; å gange med integrerende faktor. Hva får du da?

jostein013 · 20. oktober 2011

Det er riktig at det ikke vil gi noe mening. Men det finnes en partikulærløsning til ligningen (eller strengt tatt flere.) Dette er en ligning du kan løse ved å benytte en metode som du sikkert har sett før; å gange med integrerende faktor. Hva får du da?

Okei

Det har jeg jammen meg ikke vært borti før. Ikke står det noe om det i boka heller. Har du mulighet til å gi en kort innføring?

jostein013 · 20. oktober 2011

Det er riktig at det ikke vil gi noe mening. Men det finnes en partikulærløsning til ligningen (eller strengt tatt flere.) Dette er en ligning du kan løse ved å benytte en metode som du sikkert har sett før; å gange med integrerende faktor. Hva får du da?

Okei

Det har jeg jammen meg ikke vært borti før. Ikke står det noe om det i boka heller. Har du mulighet til å gi en kort innføring?

Derimot står det et tips i boka, ser jeg: Dersom du sliter med en differensiallikning, sjekk om du har mulighet til å redusere ordenen. Prøv i så fall på nytt.

Tror du det kan hjelpe meg her?

Jaffe · 20. oktober 2011

Det kan jeg. Vi kan se på en generell førsteordens differensialligning på formen $chart?cht=tx&chl=y^\prime + g(x)y = f(x)$ . Denne kan se vanskelig ut å løse slik den står nå, men trikset er som sagt å gange med en integrerende faktor. Det er et uttrykk på formen $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ , der $chart?cht=tx&chl=G(x) = \int g(x) dx$ . Det som er nøkkelpoenget med metoden er at $chart?cht=tx&chl=(e^{G(x)})^\prime = g(x)e^{G(x)}$ . Se hva som skjer når vi ganger ligningen med den integrerende faktoren $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ :

$chart?cht=tx&chl=y^\prime \cdot e^{G(x)} + y g(x) \cdot e^{G(x)} = f(x) \cdot e^{G(x)}$ .

Hvis du ser litt etter, er du med på at venstresiden nå ser ut som noe som er derivert med produktregelen? Vi har faktoren $chart?cht=tx&chl=y^\prime$ ganget med $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ i det ene leddet, og så har vi i neste ledd faktoren $chart?cht=tx&chl=y^\prime$ ganget med den deriverte av $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ . Altså må venstresiden være det samme som $chart?cht=tx&chl=(y \cdot e^{G(x)})^\prime$ . Dermed blir ligningen får:

$chart?cht=tx&chl=(y \cdot e^{G(x)})^\prime = f(x) e^{G(x)}$

Nå har vi en ligning som er mye enklere å regne ut hvis $chart?cht=tx&chl=f(x) e^{G(x)}$ lar seg integrere. For å løse ligningen er det jo da snakk om å integrere hver side og dele på $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ for å finne $y$ .

Dette ble kanskje veldig teoretisk, så la oss se på et eksempel:

$chart?cht=tx&chl=y^\prime + \frac{1}{x}y = x^2$

Her er det $chart?cht=tx&chl=\frac{1}{x}$ som er svarer til g(x) ovenfor. Så integrerende faktor er $chart?cht=tx&chl=e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ . Vi ganger med den og får

$chart?cht=tx&chl=y^\prime \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x y = x^2 \cdot x$

$chart?cht=tx&chl=y^\prime \cdot x + y = x^3$

Nå ser vi at venstresiden er det samme som $chart?cht=tx&chl=(y \cdot x)^\prime$ , så vi får altså

$chart?cht=tx&chl=(y \cdot x)^\prime = x^3$

Resten av løsningen er da rett frem.

Ser du hvordan du kan bruke denne metoden i din oppgave?

EDIT: Redusering av ordenen vil si at du ser om du kan forenkle graden til de deriverte i ligningen. Hvis du ser på ligningen din så inngår bare y'' og y'. Det betyr at du like godt kan begynne med å lete etter y', og tenke som om y' er den ukjente funksjonen du er på jakt etter. Når du har funnet y' vil det jo bare være snakk om å integrere denne for å finne y. For å gjøre det lettere å se kan du kalle y' for u. Da har du: $chart?cht=tx&chl=u^\prime - 3u = 18e^{3x}$ , som du kan løse for u.

Det er strengt tatt ikke nødvendig å innføre den nye funksjonen u, men det kan hjelpe på å holde styr på regningen.

Endret 20. oktober 2011 av Jaffe

jostein013 · 20. oktober 2011

Det kan jeg. Vi kan se på en generell førsteordens differensialligning på formen $chart?cht=tx&chl=y^\prime + g(x)y = f(x)$ . Denne kan se vanskelig ut å løse slik den står nå, men trikset er som sagt å gange med en integrerende faktor. Det er et uttrykk på formen $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ , der $chart?cht=tx&chl=G(x) = \int g(x) dx$ . Det som er nøkkelpoenget med metoden er at $chart?cht=tx&chl=(e^{G(x)})^\prime = g(x)e^{G(x)}$ . Se hva som skjer når vi ganger ligningen med den integrerende faktoren $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ :

$chart?cht=tx&chl=y^\prime \cdot e^{G(x)} + y g(x) \cdot e^{G(x)} = f(x) \cdot e^{G(x)}$ .

Hvis du ser litt etter, er du med på at venstresiden nå ser ut som noe som er derivert med produktregelen? Vi har faktoren $chart?cht=tx&chl=y^\prime$ ganget med $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ i det ene leddet, og så har vi i neste ledd faktoren $chart?cht=tx&chl=y^\prime$ ganget med den deriverte av $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ . Altså må venstresiden være det samme som $chart?cht=tx&chl=(y \cdot e^{G(x)})^\prime$ . Dermed blir ligningen får:

$chart?cht=tx&chl=(y \cdot e^{G(x)})^\prime = f(x) e^{G(x)}$

Nå har vi en ligning som er mye enklere å regne ut hvis $chart?cht=tx&chl=f(x) e^{G(x)}$ lar seg integrere. For å løse ligningen er det jo da snakk om å integrere hver side og dele på $chart?cht=tx&chl=e^{G(x)}$ for å finne $y$ .

Dette ble kanskje veldig teoretisk, så la oss se på et eksempel:

$chart?cht=tx&chl=y^\prime + \frac{1}{x}y = x^2$

Her er det $chart?cht=tx&chl=\frac{1}{x}$ som er svarer til g(x) ovenfor. Så integrerende faktor er $chart?cht=tx&chl=e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ . Vi ganger med den og får

$chart?cht=tx&chl=y^\prime \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x y = x^2 \cdot x$

$chart?cht=tx&chl=y^\prime \cdot x + y = x^3$

Nå ser vi at venstresiden er det samme som $chart?cht=tx&chl=(y \cdot x)^\prime$ , så vi får altså

$chart?cht=tx&chl=(y \cdot x)^\prime = x^3$

Resten av løsningen er da rett frem.

Ser du hvordan du kan bruke denne metoden i din oppgave?

EDIT: Redusering av ordenen vil si at du ser om du kan forenkle graden til de deriverte i ligningen. Hvis du ser på ligningen din så inngår bare y'' og y'. Det betyr at du like godt kan begynne med å lete etter y', og tenke som om y' er den ukjente funksjonen du er på jakt etter. Når du har funnet y' vil det jo bare være snakk om å integrere denne for å finne y. For å gjøre det lettere å se kan du kalle y' for u. Da har du: $chart?cht=tx&chl=u^\prime - 3u = 18e^{3x}$ , som du kan løse for u.

Det er strengt tatt ikke nødvendig å innføre den nye funksjonen u, men det kan hjelpe på å holde styr på regningen.

Tusen takk for den innføringen! Det jeg synes er litt rart er at vi ikke har vært i nærheten av å lære noe av dette. Vi er nettopp begynt med differensiallikninger, og har nettopp begynt med lineære inhomogene differensiallikninger. Finnes det ingen annen måte å løse denne på?

Jaffe · 20. oktober 2011

Såvidt jeg kan se blir det vanskelig å løse denne vha. den vanlige separasjonsmetoden, men kanskje noen andre ser noe lurt.

Hvilket mattekurs er det du tar forresten? Dette er pensum i R2 på VGS i alle fall.

Uansett, ser du hva som blir integerende faktor i ligningen din?

jostein013 · 20. oktober 2011

Såvidt jeg kan se blir det vanskelig å løse denne vha. den vanlige separasjonsmetoden, men kanskje noen andre ser noe lurt.

Hvilket mattekurs er det du tar forresten? Dette er pensum i R2 på VGS i alle fall.

Uansett, ser du hva som blir integerende faktor i ligningen din?

Jeg går første året på ingeniørstudiet, så faget heter vel Matte 1. Synes bare det er underlig at vi får en likning som omhandler noe vi ennå ikke har lært Er det e^{integralet av -3} som blir integrerende faktor hos meg da?

Albatraum · 20. oktober 2011

Nonen som kan dette godt?

Løs ulikhetene.

9-(5/2)x > 2x+(7/4)

Jaffe · 20. oktober 2011

Såvidt jeg kan se blir det vanskelig å løse denne vha. den vanlige separasjonsmetoden, men kanskje noen andre ser noe lurt.

Hvilket mattekurs er det du tar forresten? Dette er pensum i R2 på VGS i alle fall.

Uansett, ser du hva som blir integerende faktor i ligningen din?

Jeg går første året på ingeniørstudiet, så faget heter vel Matte 1. Synes bare det er underlig at vi får en likning som omhandler noe vi ennå ikke har lært Er det e^{integralet av -3} som blir integrerende faktor hos meg da?

Ja, det er riktig integrerende faktor. Får du til å løse ligningen da?

Det virker litt rart at dere har fått denne ligningen ja. Hvilke metoder har dere lært så langt?

Den enorme matteassistansetråden

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Hvem er aktive 0 medlemmer