Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[834HF42F242]

Med tall takk! Bytt ut X med et tall som går an å skrives

[Zethyr]

Med tall takk! Bytt ut X med et tall som går an å skrives

5108077[/snapback]

Anerkjenner du bare rasjonelle tall som ekte tall? Så PI er ikke et tall? Virker nesten sånn nå.

[Simen1]

Jeg er enig med anth her (med unntak av at tallet må kunne skrives). Jeg vil også ha et bevis for at tallet 0,999... eksisterer. Greit nok at et tall kan gå mot 0,999... selv med ligninga lim(x->1 (fra undersiden)) {x}, men det kan vel aldri bli lik 0,999... akkurat som det ikke kan bli lik 1.

 

Hvis du mener ligninga kan bli lik 0,999... så vil jeg gjerne ha et bevis for det. Hvis du kan bevise det uten å kunne bevise at ligninga kan bli lik 1 så må det bety at det er en forskjell mellom 0,999... og 1 og dermed at differansen kan deles opp på et vis. Hva er midt i mellom 0,999... og 1?

 

Forskjellen er "uendelig liten", men hva er egentlig "uendelig lite" hvis det ikke er 0?

[834HF42F242]

En annen ting:

Hvis 0,999999999999...9=1

så er 1,00000000000...1(uendelig mange nuller, men det siste tallet 1)=1

Da er to forskjellige tall lik det samme, nemlig 1. Ikke så logisk.

[DrKarlsen]

Zethyr: Prøv å skriv Limit[(1/x)*1/(1/x), x->inf]

 

Jeg skal prøve å slenge inn et lite delta-epsilon-bevis.

Se på lim(x->0+) { 1-x }, vi vil vise at denne grensen er lik 1. Husk at x aldri er LIK 0, men går mot 0 fra høyre (siden vi er ute etter 0.999..).

For hver delta som tilfredsstiller 0 < |x-a| < delta må det finnes en epsilon slik at |f(x) - L| < eps

Vi ser her at f(x) = 1-x, a = 0, L = 1. (lim(x->a) { f(x) } = L)

Da har vi at for hver delta slik at 0 < |x-a| = |x| = x < delta, må det finnes en epsilon slik at |f(x) - L| = |(1-x) - 1| = |-x| = x < eps. Hvis vi nå setter delta = epsilon, har vi at x < delta = epsilon > x, og vi er i mål.

 

Dette er et poeng jeg har sagt gang på gang. 0.999 er ikke lik 1 i seg selv, men den uendelig grensen går mot 1, og som vi så i beviset kan vi sette x så liten vi vil så lenge den oppfyller 0 < x < delta = epsilon.

[Simen1]

Jeg synes du konkluderer litt vel raskt med at tallene ikke er de samme. Jeg tror at både 0,999... og 1,000...1 og 1 er en og samme logiske tallverdi. Skrivemåten er forskjellig på grunn av svakheter i hvordan tall kan uttrykkes desimalt, mens den logiske og matematiske verdien er den samme.

 

Altså:

0,999... = 1 = 1,000...1 og

1- = 1 = 1+

Endret 5. november 2005 av Simen1

[teflonpanne]

jeg har ikke lest hele tråden, men 0.999999..... er jo et irrasjonelt tall og 1 er et rasjonalt tall. altså er de ikke det samme tallet. man kan også lese litt om kompletthetsprinsippet. 0.99999... har en minste øvre skranke på 0.999999... og du kan alltid konstruere et tall 0.9999.... < c < 1

Endret 5. november 2005 av teflonpanne

[834HF42F242]

Tallet eksisterer også bare i teorien, og er umulig å skrive og umulig å gange med et annet tall. Så i teorien sies det da at produktet av 0,99999...9*X er det samme som produktet av 1*X?

[DrKarlsen]

Du sa jo selv at vi ikke kunne skrive 0.999... som noe tall. Skriv heller:

"Er produktet av z * (lim(x->0+) { 1-x }) det samme som z*1? Ja, det er lik z.

[834HF42F242]

Det kan aldri bevises i praksis...

[DrKarlsen]

Jo, hvis du leser lenger opp så ser du et bevis.

[834HF42F242]

Nå tenker jeg på å taste dette fysisk inn på en kalkulator og trykke =

Litt vanskelig når det er umulig å skrive tallet.

[DrKarlsen]

Aha, du mener på en kalkulator altså.

Greit, med dette fantastiske kalkulatorbeviset ditt må jeg nesten bare bøye meg i støvet!

 

Eller ikke... Hvorfor godtar du ikke beviset mitt? Og ikke kom med at du ikke kan trykke det inn på kalkulatoren, det er bare tull.

[Simen1]

Nå tenker jeg på å taste dette fysisk inn på en kalkulator og trykke =

Litt vanskelig når det er umulig å skrive tallet.

5108577[/snapback]

Kalkulatorer regner ikke med eksakte irrasjonelle tall. De avrunder så det er umulig å teste det i praksis. Det er ikke mulig å teste på andre metoder heller siden rekka med 9-tall er uendelig. Uendeligheter kan ikke testes i praksis.

[HolgerL]

Grunnen til at en enkelte ikke vil si seg enig i at 0,999_ = 1 er at de har en gal oppfatning av hva 0,999_ betyr. Det man må huske her er at det er uendelig mange nitall, og uendelig er IKKE (IKKE!) (!) et reellt tall. Bruk av "uendelige" verdier kan ikke gå under den oppfattelsen vi vanligvis har av tall.

 

Uendelig er en såkalt grenseverdi. Grenseverdier følger ikke alltid samme logikk som man har lært seg gjennom dagligdagse erfaringer.

 

Et eksempel: La oss si at y=x når x ikke er lik 1, og y=5 når x er lik 1. Da vil faktisk grenseverdien til y være lik 1 når x går mot 1, selv om y skal være 5 akkurat når x er 1. Dette strider med manges logikk.

 

EDIT: Godt mulig dette er nevnt før. Jeg har ikke lest hele tråden.

Endret 5. november 2005 av HolgerLudvigsen

[DrKarlsen]

Det du nevner her er en diskontinuerlig funksjon. Vi hadde en kontinuerlig. Store forskjeller her.

[Torbjørn]

lim(x->inf) { x * 1/x } finnes, prøv å del på x oppe og nede, da får du lim(x->inf) { (1/x) * 1/(1/x) } = lim(x->inf) { 1 } = 1.

 

Hva i allverden sier du her?

[834HF42F242]

For meg virker grenseverdier å være en unntaksløsning. Jeg skjønner poenget med grenseverdier, men det virker litt billig.

[Torbjørn]

Billig? Du har ikke noe valg.

 

Skal du gjøre refleksjoner om fenomener som ikke lar seg besrkive eksakt (f.eks uendelig) så er det da mye bedre å kunne gå videre med grenseverdier enn å bare gi seg der.

[HolgerL]

Det du nevner her er en diskontinuerlig funksjon. Vi hadde en kontinuerlig. Store forskjeller her.

5108611[/snapback]

Det var et eksempel på hvordan grenseverdier strider med enkeltes logikk. Ikke en forklaring på at 0,999_ = 1.