Sadelpunkter funksjoner med flere variable

[Doffeo]

Oppgaven lyder:

Finn 1. og 2. ordens-deriverte til funksjonene.

Finn deretter stasjonære punkter, og klassifiser disse punktene i eventuelle lokale maks-, min- eller sadelpunkter

 

a) f(x,y)=3xy-2xy^2-x^2y

 

b) f(x,y)=x^3+y^3-3xy+9

 

De deriverte er forsåvidt greit:

 

a)

 

f`x= 3y-2y^2-2xy

f`y= 3x-4xy-x^2

f``xx= -2y

f``xy= 3-4y-2x

f``yy= -4x

 

b)

 

f`x= 3x^2-3y

f`y= 3y^2-3x

f``xx= 6x

f``xy= 3

f``yy= 6y

 

 

Veien videre er mer tåkete

hjelp ønskes

[the_last_nick_left]

Stasjonære punkter er der de deriverte er null. For å klassifisere dem bruker du andrederiverttesten.

[Doffeo]

Har prøvd litt på det, men det blir bare kluss for meg. Hvis noen kunne regnet den gjennom og vist fremgangsmåten, hadde jeg blitt happy

[the_last_nick_left]

Hvis du skriver utregningen din kan jeg fortelle hva du gjør feil, men jeg gjør ikke oppgaven for deg.

[Doffeo]

ok gi meg to sek så skal jeg si hva jeg tenker

[Doffeo]

I: 3y-2y^2-2xy

II: 3x-x^2-4xy

 

det krøller seg vel allerede her. Jeg prøver ulike triks for å korte det ned til færre ukjente, men får ikke noen svar samme hva. Hvis du kan gi meg et par tips på veien på hvordan jeg skal gå fram på likningssettet vil jeg sikkert klare det.

[the_last_nick_left]

Som sagt, begge de partiellderiverte skal være lik null. Det gir to likninger med to ukjente. Løs for y i nummer to, så setter du inn for y i nummer en.

[Doffeo]

II: 4xy=3x-x^2

II: y= 3/4-x/4

 

setter inn y i I

 

I: 9/4-3x/4-18/16+2x^2/16-6x/4-2x^2/4=0

I: (36-12x-18+2x^2-24x-8x^2)/16=0

I: -6/16x^2-36/16x+9/8=0

 

som gir svarene x= 0,4641016151 v x=-6,464101615

 

Og da blir jeg enda mer, ehhh.

[the_last_nick_left]

Når jeg ser nærmere på de partiellderiverte er det en enklere måte å gjøre det på. Begge kan faktoriseres. 3y-2y^2-2xy=0 innebærer at y(3-2y-2x)=0. Gjør tilsvarende med II. Da har du fire alternativer: x er null, y er null, begge er null eller ingen er null.

[Doffeo]

så da får vi:

 

I: y(3-2y-2x)=0

II: x(3-x-4y)=0

 

som vil si at:

 

x=0 og y=0

v

x=1 og y=1/2

v

x=0 og y=3/2

v

x=3 og y=0

 

?

[Doffeo]

Så tester vi:

 

A=-2y

B=3-4y-2x

C=-4x

 

Test:

A*C-B^2

>0 og A>0 minimum

>0 og A<0 maksimum

<0 sadelpunkt

 

(0,0):

-9<0 sadelpunkt

 

(1,1/2):

3>0 A=-1<0 maksimum

 

(0,3/2):

-9<0 sadelpunkt

 

(3,0)

-9<0 sadelpunkt

 

takk for hjelp hvis du kunne sett over og se om jeg gjør noe dumt på veien hadde jeg blitt happy

[the_last_nick_left]

Det ser riktig ut, det.