Den naturlige eksponentsialfunksjonen

Kriminalteknikkeren · 18. mars 2009

Gitt funksjonen $chart?cht=tx&chl=f(x) = (2 - x)e^{x}$

a) Finn eventuelle nullpunkter, topp- og bunnpunkter ved regning.

b) Finn ved regning den verdien av x der f'(x) er størst. Hva kan du si om funksjonen for denne x-verdien?

c) Finn eventuelle vendepunkter.

d) Tegn grafen til f

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Før jeg kan gå videre i denne oppgaven må jeg klare å løse a) oppgaven. Jeg er nesten "i mål" men lurer litt på avslutningsfasen og hvordan jeg eventuelt skal sette det opp i et fortegnsskjema

$chart?cht=tx&chl=f(x) = (2 - x)e^{x}$

$chart?cht=tx&chl=f'(x) = (2 - x)' \cdot e^{x} + (2 - x) \cdot (e^{x})'$

$chart?cht=tx&chl=f'(x) = -1 \cdot e^{x} + (2 - x) \cdot e^{x}$

$chart?cht=tx&chl=f'(x) = -e^{x} + 2e^{x} - xe^{x}$

$chart?cht=tx&chl=f'(x) = e^{x} - xe^{x}$

Kan jeg trekke utrykket sammen eller er dette det endelige svaret? Hvordan setter jeg opp i fortegnsskjema og hvordan blir verdiene?

Imaginary · 18. mars 2009

Du har e^x som felles faktor:

$chart?cht=tx&chl=f'(x) = e^{x} - xe^{x} = e^{x}(1-x)$

Kriminalteknikkeren · 18. mars 2009

Setter inn i fortegnsskjema. Grafen har toppunkt for x = 1.

Toppunkt: (1, f(1)) = (1, (2,72))

Men så var det det med nullpunkter da. Hvis x = 2 så har jo ikke f(x) noen betydning. Betyr dette at 2 er nullpunkt i funksjonen?

Imaginary · 18. mars 2009

Toppunktet du fant er korrekt.

Nullpunktet er også riktig fordi leddet (2-x) = 0 når x = 2.

Kriminalteknikkeren · 18. mars 2009

Har helt jerneteppe. Var det ikke sånn at jeg skulle sette utrykket lik null for å finne når verdien av f'(x) er størst? Men hvordan løser jeg resten når jeg setter utrykket lik 0?

Imaginary · 18. mars 2009

Du setter den deriverte lik null hvis du ønsker å finne topp- og bunnpunkt på funksjonen, og tilsvarende den andreveriverte lik null for å finne vendepunkt på funksjonen. Vendepunktet innebærer også punktet der den deriverte er størst.

Kriminalteknikkeren · 18. mars 2009

1) Nullpunkt og/eller bunnpunkt: $chart?cht=tx&chl=e^{x}(1 - x) = 0$

2) Vendepunkt: $chart?cht=tx&chl=-e^{x} = 0$

-----------------------------------------------------------------------

1) Grafen har toppunkt for x = 1. Toppunkt er (1, f(1)) = (1, (2,72))

2) Hmm, her blir jo linjen bortover på fortegnsskjemaet hele tiden negativ (------). Dvs at vendepunktet til grafen er når x = 0?

Torbjørn T. · 18. mars 2009

Nullpunkt:

Ein funksjon har nullpunkt der funksjonsverdien er null, dvs. $mimetex.cgi?f(x)=(2-x)e^x=0$ . Dette skjer berre når $mimetex.cgi?x=2$ , ettersom eksponentialfunksjonen aldri får verdien 0.