Jump to content
svamp

Den enorme matteassistansetråden

Recommended Posts

Kanskje intuisjon var feil ord. Jeg har etterhvert opparbeidet en intuisjon om sånn omtrent hvordan et svar "bør se ut", men det er noe man trener opp og noe helt annet enn en ren praktisk tolkning. Hvis du får en enkel likning, er det ganske greit å gi den en praktisk tolkning. Å finne en praktisk tolkning av at chart?cht=tx&chl=e^{\pi*i}=-1 er verre.. 

Share this post


Link to post
Annonse

Kanskje intuisjon var feil ord. Jeg har etterhvert opparbeidet en intuisjon om sånn omtrent hvordan et svar "bør se ut", men det er noe man trener opp og noe helt annet enn en ren praktisk tolkning. Hvis du får en enkel likning, er det ganske greit å gi den en praktisk tolkning. Å finne en praktisk tolkning av at chart?cht=tx&chl=e^{\pi*i}=-1 er verre.. 

ExpIPi.gif

 

Fra https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity

  • Like 1

Share this post


Link to post

En annen grunn til at eulers tall ble brukt er at det var "enkelt" å beregne for hånd:

chart?cht=tx&chl=e^x = \sum _{n=0} ^{\infty} \frac {x^n}{n!} = \lim _{n \to \infty} (\frac {x^0}{0!} + \frac {x^1}{1!} + \frac {x^2}{2!} + ... + \frac {x^n}{n!})

Nåja, tallets relativt enkle kalkulerte rekke-tilnærming er en heldig egenskap. Men dets egenskap som et "identitetselement" (eller funksjon) for vekstrate, sammenlignbart med hvordan tallet 1 er den multiplikative identitet, er noe som er helt unikt for eulers tall og en helt essensiell komponent i å videreutvikle differensialregning.

Share this post


Link to post

Jeg vet det, men ikke kom og påstå at det der er intuitivt.. :)

Prøv å regne det ut:

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{2} )^2 \approx -1.47 + \pi i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{5} )^5 \approx -2.17 + 0.76i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{50} )^{50} \approx -1.1 + 0.005i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{200} )^{200} \approx -1.02 + 0.0003i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{10000} )^{10000} \approx -1.0005 + 10^{-7}i

 

Intuisjonen kommer når man har regnet mye på et problem, og begynner å se mønstrene.

Edited by N o r e n g

Share this post


Link to post

En interessant debatt som fikk meg til å tenke. Hvorfor representerer vi det komplekse plan slik som vi gjør? Jeg forstår intuitivt at im(z) er lineært uavhengig av re(z) noe som gjør det naturlig å representere det som to dimensjoner, men det er jo litt rart når i^2 =-1. For meg virker det som eulers identitet følger direkte av vår definisjon av det komplekse planet, noe som gjør den litt mindre utrolig enn jeg trodde.

Share this post


Link to post

En interessant debatt som fikk meg til å tenke. Hvorfor representerer vi det komplekse plan slik som vi gjør? Jeg forstår intuitivt at im(z) er lineært uavhengig av re(z) noe som gjør det naturlig å representere det som to dimensjoner, men det er jo litt rart når i^2 =-1. For meg virker det som eulers identitet følger direkte av vår definisjon av det komplekse planet, noe som gjør den litt mindre utrolig enn jeg trodde.

Eulers identitet kom lenge før noen tenkte på å representere komplekse tall på X- og Y-aksen.

Caspar Wessel var en av de første som tenkte på at det var mulig, men det er i ettertid Gauss som har fått æren.

 

Ellers er ikke nødvendigvis im(z) lineært uavhengig av re(z), ettersom man opererer med komplekse tall.

For eksempel:

chart?cht=tx&chl=z = 1+i

chart?cht=tx&chl=re(z)=-i *im(z)

  • Like 1

Share this post


Link to post

Eulers identitet kom lenge før noen tenkte på å representere komplekse tall på X- og Y-aksen.

Caspar Wessel var en av de første som tenkte på at det var mulig, men det er i ettertid Gauss som har fått æren.

 

Ellers er ikke nødvendigvis im(z) lineært uavhengig av re(z), ettersom man opererer med komplekse tall.

For eksempel:

chart?cht=tx&chl=z = 1+i

chart?cht=tx&chl=re(z)=-i *im(z)

Men vil ikke Im(z) her være kun 1, og ikke i? Ettersom z = a + bi, og Im(z) her er b.

Edited by -sebastian-
  • Like 1

Share this post


Link to post

Men vil ikke Im(z) her være kun 1, og ikke i? Ettersom z = a + bi, og Im(z) her er b.

Det kommer selvfølgelig an på hvilken transformasjon chart?cht=tx&chl=im(z) skal være: chart?cht=tx&chl=bi eller chart?cht=tx&chl=b

Poenget var at den imaginære komponenten kan fint være en lineærkombinasjon av den reelle komponenten.

Share this post


Link to post

Det kommer selvfølgelig an på hvilken transformasjon chart?cht=tx&chl=im(z) skal være: chart?cht=tx&chl=bi eller chart?cht=tx&chl=b

Poenget var at den imaginære komponenten kan fint være en lineærkombinasjon av den reelle komponenten.

Men definisjonen sier jo at Im(z) er et tall i R.

Share this post


Link to post

Prøv å regne det ut:

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{2} )^2 \approx -1.47 + \pi i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{5} )^5 \approx -2.17 + 0.76i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{50} )^{50} \approx -1.1 + 0.005i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{200} )^{200} \approx -1.02 + 0.0003i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{10000} )^{10000} \approx -1.0005 + 10^{-7}i

 

Intuisjonen kommer når man har regnet mye på et problem, og begynner å se mønstrene.

 

 

Ja, nettopp, det er jo det jeg prøver å si. Den intuisjonen må trenes opp!

Akkurat, det var hele oppfordringen fra starten av. Men vedkommende som i utgangspunktet spurte etter en intuitiv forklaring på hvorfor eulers tall har de egenskapene det har, syntes ikke at resultater som framkommer gjennom regning (eller mer riktig algebraisk manipulasjon) var intuitive. Men det er de, den som ikke finner det intuitivt har antakeligvis bare ikke tilvendt seg matematikken.

Share this post


Link to post

 

 Akkurat, det var hele oppfordringen fra starten av. Men vedkommende som i utgangspunktet spurte etter en intuitiv forklaring på hvorfor eulers tall har de egenskapene det har, syntes ikke at resultater som framkommer gjennom regning (eller mer riktig algebraisk manipulasjon) var intuitive. Men det er de, den som ikke finner det intuitivt har antakeligvis bare ikke tilvendt seg matematikken.

 

Det var feil av meg å bruke uttrykket intuisjon. Det jeg kanskje burde ha spurt om er en måte å uttrykke sammenhengene mellom de unike egenskapene til eulertallet med ord og ikke bare med matematiske steg, for det var i bunn og grunn det jeg mente. Både videoen Noreng postet og dine utregninger ga meg definitivt en bedre intuitiv forståelse av sammenhengen mellom e som basisvekstrate og e^x som den eneste funksjonen som er sin egen deriverte.

Share this post


Link to post

Hei, folkens! :)

På tirsdag skal jeg ha matematikktentamen (9. klasse), og jeg holder på å øve til den nå ved å løse del 2-oppgaver fra i fjor (2017). Jeg fikk til alle oppgavene, bortsett fra oppgave 10d, som handler om blandingsforhold.

 

"Vilde leser på flasken og finner ut at rengjøringsmiddelet skal blandes i forholdet 3 : 20.

 

d) Hva må de tilsette den blandingen de har, og hvor mye må de tilsette, for at blandingsforholdet skal bli 3 : 20?" 

 

Den blandingen de har, som jeg fant ut i oppgave c, er 9 dl rengjøringsmiddel og 4,8 liter vann. Denne blandingen er i forholdet 3 : 16. 

 

Er det en regnemetode man kan bruke for å finne ut dette? Eller må man bare prøve seg fram? 

Share this post


Link to post

Hei, folkens! :)

 

På tirsdag skal jeg ha matematikktentamen (9. klasse), og jeg holder på å øve til den nå ved å løse del 2-oppgaver fra i fjor (2017). Jeg fikk til alle oppgavene, bortsett fra oppgave 10d, som handler om blandingsforhold.

 

"Vilde leser på flasken og finner ut at rengjøringsmiddelet skal blandes i forholdet 3 : 20.

 

d) Hva må de tilsette den blandingen de har, og hvor mye må de tilsette, for at blandingsforholdet skal bli 3 : 20?" 

 

Den blandingen de har, som jeg fant ut i oppgave c, er 9 dl rengjøringsmiddel og 4,8 liter vann. Denne blandingen er i forholdet 3 : 16. 

 

Er det en regnemetode man kan bruke for å finne ut dette? Eller må man bare prøve seg fram? 

Ligningen som må oppfylles er:

chart?cht=tx&chl=\frac {saape}{blandingsfaktor_{saape}} = \frac {vann}{blandingsfaktor_{vann}}

 

En strategi som kan fungere vil være å se på hvor mye såpe du har først, og hvor mye vann som må være i blandingen for å passe med blandingsforholdet.

For ditt eksempel:

chart?cht=tx&chl= \frac {9 dl}{3} = \frac {V}{20}

Dette løses til:

chart?cht=tx&chl=V= 60 dl

Siden blandingen nå har 48 dl vann, ser det ut til at du må tilsette litt vann for å nå rett blandingsforhold

 

Hvis du hadde hatt litt mer vann i bøtten, for eksempel 8.0L, ville du måttet legge til såpe i stedet.

 

Gjør dette ting klarere? :)

  • Like 1

Share this post


Link to post

SIden det ene forholdet er 3:16 og det andre er 3:20, må det være mer vann i forholdet som er 3:20 enn det som er 3:16 - dermed er det vann som tilsettes. Om forholdet var 3:20 og mengden rengjøringsmiddel var 9 dl=0,9 l, ville 1 del her tilsvart 0,9 l/3=0,3 l. 20 deler vannblir da 20*0,3=6 l, altså må det tilsettes 6-4,8=1,2 l vann.

Mange veier til mål, men det begynner som regel med en forståelse av sammenhengen mellom forholdstall og absolutt mengde.

  • Like 1

Share this post


Link to post

Sliter ned å få riktig svar på denne tentamensoppgaven:

 

(Kvadratrot av 2 + Kvadratrot av 8)opphøyd i 2

 

Skal vel bruke en av kvadratsetningene. Får ikke riktig svar (18). Noe som tar denne lett og kan vise fremgangsmåten?

Share this post


Link to post

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

Loading...

  • Recently Browsing   0 members

    No registered users viewing this page.

×
×
  • Create New...