Gå til innhold
Trenger du skole- eller leksehjelp? Still spørsmål her ×

Den enorme matteassistansetråden


Anbefalte innlegg

Videoannonse
Annonse
Gjest Slettet+45613274

Kanskje intuisjon var feil ord. Jeg har etterhvert opparbeidet en intuisjon om sånn omtrent hvordan et svar "bør se ut", men det er noe man trener opp og noe helt annet enn en ren praktisk tolkning. Hvis du får en enkel likning, er det ganske greit å gi den en praktisk tolkning. Å finne en praktisk tolkning av at chart?cht=tx&chl=e^{\pi*i}=-1 er verre.. 

ExpIPi.gif

 

Fra https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity

Lenke til kommentar

En annen grunn til at eulers tall ble brukt er at det var "enkelt" å beregne for hånd:

chart?cht=tx&chl=e^x = \sum _{n=0} ^{\infty} \frac {x^n}{n!} = \lim _{n \to \infty} (\frac {x^0}{0!} + \frac {x^1}{1!} + \frac {x^2}{2!} + ... + \frac {x^n}{n!})

Nåja, tallets relativt enkle kalkulerte rekke-tilnærming er en heldig egenskap. Men dets egenskap som et "identitetselement" (eller funksjon) for vekstrate, sammenlignbart med hvordan tallet 1 er den multiplikative identitet, er noe som er helt unikt for eulers tall og en helt essensiell komponent i å videreutvikle differensialregning.

Lenke til kommentar
Gjest Slettet+45613274

En interessant debatt som fikk meg til å tenke. Hvorfor representerer vi det komplekse plan slik som vi gjør? Jeg forstår intuitivt at im(z) er lineært uavhengig av re(z) noe som gjør det naturlig å representere det som to dimensjoner, men det er jo litt rart når i^2 =-1. For meg virker det som eulers identitet følger direkte av vår definisjon av det komplekse planet, noe som gjør den litt mindre utrolig enn jeg trodde.

Lenke til kommentar

En interessant debatt som fikk meg til å tenke. Hvorfor representerer vi det komplekse plan slik som vi gjør? Jeg forstår intuitivt at im(z) er lineært uavhengig av re(z) noe som gjør det naturlig å representere det som to dimensjoner, men det er jo litt rart når i^2 =-1. For meg virker det som eulers identitet følger direkte av vår definisjon av det komplekse planet, noe som gjør den litt mindre utrolig enn jeg trodde.

Eulers identitet kom lenge før noen tenkte på å representere komplekse tall på X- og Y-aksen.

Caspar Wessel var en av de første som tenkte på at det var mulig, men det er i ettertid Gauss som har fått æren.

 

Ellers er ikke nødvendigvis im(z) lineært uavhengig av re(z), ettersom man opererer med komplekse tall.

For eksempel:

chart?cht=tx&chl=z = 1+i

chart?cht=tx&chl=re(z)=-i *im(z)

Lenke til kommentar

Eulers identitet kom lenge før noen tenkte på å representere komplekse tall på X- og Y-aksen.

Caspar Wessel var en av de første som tenkte på at det var mulig, men det er i ettertid Gauss som har fått æren.

 

Ellers er ikke nødvendigvis im(z) lineært uavhengig av re(z), ettersom man opererer med komplekse tall.

For eksempel:

chart?cht=tx&chl=z = 1+i

chart?cht=tx&chl=re(z)=-i *im(z)

Men vil ikke Im(z) her være kun 1, og ikke i? Ettersom z = a + bi, og Im(z) her er b.

Endret av -sebastian-
Lenke til kommentar
Gjest Slettet+45613274

Det kommer selvfølgelig an på hvilken transformasjon chart?cht=tx&chl=im(z) skal være: chart?cht=tx&chl=bi eller chart?cht=tx&chl=b

Poenget var at den imaginære komponenten kan fint være en lineærkombinasjon av den reelle komponenten.

Men definisjonen sier jo at Im(z) er et tall i R.

Lenke til kommentar

Prøv å regne det ut:

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{2} )^2 \approx -1.47 + \pi i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{5} )^5 \approx -2.17 + 0.76i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{50} )^{50} \approx -1.1 + 0.005i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{200} )^{200} \approx -1.02 + 0.0003i

chart?cht=tx&chl=(1+\frac {i \pi}{10000} )^{10000} \approx -1.0005 + 10^{-7}i

 

Intuisjonen kommer når man har regnet mye på et problem, og begynner å se mønstrene.

 

 

Ja, nettopp, det er jo det jeg prøver å si. Den intuisjonen må trenes opp!

Akkurat, det var hele oppfordringen fra starten av. Men vedkommende som i utgangspunktet spurte etter en intuitiv forklaring på hvorfor eulers tall har de egenskapene det har, syntes ikke at resultater som framkommer gjennom regning (eller mer riktig algebraisk manipulasjon) var intuitive. Men det er de, den som ikke finner det intuitivt har antakeligvis bare ikke tilvendt seg matematikken.

Lenke til kommentar

 

 Akkurat, det var hele oppfordringen fra starten av. Men vedkommende som i utgangspunktet spurte etter en intuitiv forklaring på hvorfor eulers tall har de egenskapene det har, syntes ikke at resultater som framkommer gjennom regning (eller mer riktig algebraisk manipulasjon) var intuitive. Men det er de, den som ikke finner det intuitivt har antakeligvis bare ikke tilvendt seg matematikken.

 

Det var feil av meg å bruke uttrykket intuisjon. Det jeg kanskje burde ha spurt om er en måte å uttrykke sammenhengene mellom de unike egenskapene til eulertallet med ord og ikke bare med matematiske steg, for det var i bunn og grunn det jeg mente. Både videoen Noreng postet og dine utregninger ga meg definitivt en bedre intuitiv forståelse av sammenhengen mellom e som basisvekstrate og e^x som den eneste funksjonen som er sin egen deriverte.

Lenke til kommentar

Hei, folkens! :)

På tirsdag skal jeg ha matematikktentamen (9. klasse), og jeg holder på å øve til den nå ved å løse del 2-oppgaver fra i fjor (2017). Jeg fikk til alle oppgavene, bortsett fra oppgave 10d, som handler om blandingsforhold.

 

"Vilde leser på flasken og finner ut at rengjøringsmiddelet skal blandes i forholdet 3 : 20.

 

d) Hva må de tilsette den blandingen de har, og hvor mye må de tilsette, for at blandingsforholdet skal bli 3 : 20?" 

 

Den blandingen de har, som jeg fant ut i oppgave c, er 9 dl rengjøringsmiddel og 4,8 liter vann. Denne blandingen er i forholdet 3 : 16. 

 

Er det en regnemetode man kan bruke for å finne ut dette? Eller må man bare prøve seg fram? 

Lenke til kommentar

Hei, folkens! :)

 

På tirsdag skal jeg ha matematikktentamen (9. klasse), og jeg holder på å øve til den nå ved å løse del 2-oppgaver fra i fjor (2017). Jeg fikk til alle oppgavene, bortsett fra oppgave 10d, som handler om blandingsforhold.

 

"Vilde leser på flasken og finner ut at rengjøringsmiddelet skal blandes i forholdet 3 : 20.

 

d) Hva må de tilsette den blandingen de har, og hvor mye må de tilsette, for at blandingsforholdet skal bli 3 : 20?" 

 

Den blandingen de har, som jeg fant ut i oppgave c, er 9 dl rengjøringsmiddel og 4,8 liter vann. Denne blandingen er i forholdet 3 : 16. 

 

Er det en regnemetode man kan bruke for å finne ut dette? Eller må man bare prøve seg fram? 

Ligningen som må oppfylles er:

chart?cht=tx&chl=\frac {saape}{blandingsfaktor_{saape}} = \frac {vann}{blandingsfaktor_{vann}}

 

En strategi som kan fungere vil være å se på hvor mye såpe du har først, og hvor mye vann som må være i blandingen for å passe med blandingsforholdet.

For ditt eksempel:

chart?cht=tx&chl= \frac {9 dl}{3} = \frac {V}{20}

Dette løses til:

chart?cht=tx&chl=V= 60 dl

Siden blandingen nå har 48 dl vann, ser det ut til at du må tilsette litt vann for å nå rett blandingsforhold

 

Hvis du hadde hatt litt mer vann i bøtten, for eksempel 8.0L, ville du måttet legge til såpe i stedet.

 

Gjør dette ting klarere? :)

  • Liker 1
Lenke til kommentar

SIden det ene forholdet er 3:16 og det andre er 3:20, må det være mer vann i forholdet som er 3:20 enn det som er 3:16 - dermed er det vann som tilsettes. Om forholdet var 3:20 og mengden rengjøringsmiddel var 9 dl=0,9 l, ville 1 del her tilsvart 0,9 l/3=0,3 l. 20 deler vannblir da 20*0,3=6 l, altså må det tilsettes 6-4,8=1,2 l vann.

Mange veier til mål, men det begynner som regel med en forståelse av sammenhengen mellom forholdstall og absolutt mengde.

  • Liker 1
Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Du må være et medlem for å kunne skrive en kommentar

Opprett konto

Det er enkelt å melde seg inn for å starte en ny konto!

Start en konto

Logg inn

Har du allerede en konto? Logg inn her.

Logg inn nå
  • Hvem er aktive   0 medlemmer

    • Ingen innloggede medlemmer aktive
×
×
  • Opprett ny...